Untitled Scanned 36

100

7.    Aksjomat ekstensjonalno.ści

AAC^zto ^A Z (y) a A (^z £ x z e >•) -V = >■]

■X y    :

Innymi słowy, każde dwa zbiory posiadające dokładnie te same elementy są identyczne, tzn. posiadają też dokładnie te same własności.

8.    Aksjomat pary

A AV[Z(^z) a A(“ e ^z «-♦ «=* v u=y)]

a >• r    u

A więc, dla każdych dwóch przedmiotów istnieje zbiór, którego jedynymi elementami są akurat te dwa przedmioty.

9.    Aksjomat wyróżniania

-A[Z(x)“* V[Z(y) A /\(z e y «->z e x a >4(2))]],

X    y    r

gdzie A (z) jest dowolną formułą zdaniową (języka teorii mnogości) nie zawierającą y jako zmiennej wolnej. Ściśle biorąc, mamy tu nic pojedynczy aksjomat, ale schemat nieskończenie wiciu aksjomatów, które możemy otrzymać przez wstawienie w miejsce A (z) różnych konkretnych formuł zdaniowych. Wielokropek umieszczony na początku powyższego schematu ma przypominać, żc gdy A (z) zawiera zmienne wolne różne od z i od x, to zmienne te należy związać dużymi kwantyfikatorami umieszczonymi na początku aksjomatu.

Sens aksjomatu wyróżniania jest następujący: dowolny warunek A (z) wyznacza (wyróżnia) w każdym zbiorze x podzbiór złożony ze wszystkich i tylko tych elementów z, które należą do x i równocześnie spełniają warunek A (z).

10.    Aksjomat zbioru potęgowego

f\[Z{x)->\][Z(y) a f\(z f= y i- Z (z) a /\(u e z-mi e x))]]

x    y    z    u

Aksjomat ten głosi, żc dla każdego zbioru x istnieje zbiór wszystkich jego podzbiorów, czyli tzw. zbiór potęgowy zbioru x.

11.    Aksjomat sumy

AC^Z(*) a AC)’ e x - Z(y)) - V C ^Z(^z) a /\{y ez ++\/{uexAye w))]]

x    y    z    y    u

Aksjomat ten głosi, że dla każdej rodziny zbiorów x istnieje jej suma, tzn. taki zbiór z, którego elementami są wszystkie i tylko te przedmioty, które należą do co najmniej jednego elementu rodziny x.