00098472

236

Podobnie, przyjmuj* z, — —}. z, - i, dostajemy

ar*(-l)= +«.    a»«z, - *ni-f) - - ~,

ar**, =»arg/-^-y

a więc

ar* —yi »rgi, -łr*z₂

Z uwagi na postać trygonometryczną (1U.6) liczby zespolonej oraz ze względu na niezwykle ważny w zastosowaniach wzór Eulera

e‘* - cos ot -rj sin ot

(a oznacza to dowolną liczbę rzeczywistą) każdą liczbę zespoloną można zapisać w tzw. postaci wykładniczej

z - re"    Oli 9)

W powyższym wzorze r oznacza moduł, <f> — argument liczby zespolonej z.

W dalszym ciągu będziemy Często korzystać ze wzoru Moivre'a (cosa+^sina)* = cos na+7sin na

w którym a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, n zaś dowolną liczbę naturalną.

Na zakończenie przypominamy pierwiastkowanie liczb zespolonych, leżeli r =    gdzie rp - argz, to

Yz— f7 |cos ■?-■ -fjsin    * j    (UL10)

(k — 0,1,2,... n—1)

Jeżeli 0, to pierwiastek ylz ma dokładnie n różnych wartości. Poditawiając we wzorze (Ul. 10) k = 0, dostajemy tzw. pierwiastek główny stopnia n z liczby z, który oznaczony symbolem mamy więc

Po tym krótkim przeglądzie podstawowych określeń i wzorów z zakresu algebry liczb zespolonych, powracamy do pojęcia płaszczyzny liczbowej, którą nazwaliśmy także płaszczyzną zespoloną otwartą. Rozważmy zatem taką właśnie płaszczyznę Z oraz wyobraźmy sobie kulę o jednostkowej średnicy, styczną do tej płaszczyzny w początku układu Oxy (rys. III.2). Powierzchnię tej kuli nazywamy sferą Riemanna. Punkt O, czyli punkt styczności sfery Riemanna z płaszczyzną liczbową, nazywamy biegunem południowym, zaś punkt B — położony na tej sferze i przeciwległy punktowi

0    — nazywamy biegunem północnym.

Bierzemy pod uwagę dowolny punkt z położony na płaszczyźnie liczbową}

1    łączymy go odcinkiem z biegunem północnym B. Niech P f B oznacza ten punkt rozważanego odcinka, który leży na sferze Riemanna. W laki sposób można każdemu punktowi z leżącemu na płaszczyźnie otwartej Z przyporządkować (wzajemnie jednoznacznie) punkt P leżący na sferze Riemanna. Przyporządkowanie takie nazywa się rzutem stenograficznym. Zauważmy, że punkt B, jako jedyny z całej

afery Riemanna, nie jest przyporządkowany w rzucie stereograficznym żadnemu punktowi płaszczyzny liczbowej. W związku z tym uzupełniamy płaszczyznę zespoloną otwartą Z tzw. punktem w nieskończoności, który oznaczamy symbolem oo. Za obraz punktu z = co w rzucie stereograficznym przyjmujemy z definicji punkt B, a więc środek rzutowania.

DeŁ Płaszczyzna zespolona domknięta jest to zbiór utworzony ze wszystkich punktów płaszczyzny zespolonej otwartej oraz z punktu oo.

Płaszczyznę zespoloną domkniętą nazywamy także płaszczyzną Gaussa, gdyż on właśnie wprowadził to pojęcie w 1832 r.

Rzut stereograficzny przyporządkowuje zatem wzajemnie jednoznacznie- punktom płaszczyzny Gaussa punkty sfery Riemanna.

Punkt z =» co jest punktem wewnętrznym płaszczyzny Gaussa. Przez otoczenie tego punktu rozumiemy przy tym zewnętrze każdego okręgu położonego na płaszczyźnie liczbowej, o środku w punkcie O.

ĆWICZENIA

t. Co to jest: a) liczb* zespolona, b) jednostka urojona, c) część rzeczywista l._Ł, d) część urojona !x, e) płaszczyzna zespolona (otwarta), 0 moduł IX, a) argument I*, h) argument (tówny 1x7

2.    Omówić postać: a) kanoniczną, b) trygonometryczną, c) wykładniczą Ix Podać interpretację geometryczną lx i działań na tych Herbach.

3.    Co to jret: a) mu stenograficzny, b) punkt w nieskończoności, c) płaszczyzna zes~ palona domknięta 7