177(1)

§42. Trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b: 1) względem wierzchołka kąta prostego, 2) względem przyprostokątnej a.

843.    Kola o promieniu R: 1) względem stycznej, 2) względem punktu

na obwodzie.    j

844.    Znaleźć środek ciężkości trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych

a i b, jeżeli gęstość powierzchniowa w każdym punkcie trójkąta jest wprost proporcjonalna do kwadratu odległości tego punktu od wierzchołka kąta prostego.    ^

V²    .    _t

845.    Płytka w kształcie ćwiartki elipsy "H'    — 1 położonej w pierw

szej ćwiartce płaszczyzny, ma gęstość powierzchniową w punkcie (x,y) daną wzorem <5 = kxy, gdzie k — stała. Znaleźć środek ciężkości płytki.

Znaleźć środki ciężkości następujących brył jednorodnych:

846.    Półkuli A²-fj-’²+z² < a¹, z > 0.

847.    Czworościanu, zawartego między płaszczyznami x-'r2y+z~ 1,

,v = 0, y. = 0, z = 0.

848.    Warstwy kulistej, zawartej między sferą a'² '_ry²-\-z^z ~ R¹ i płaszczyznami x = a, x = b.

§ 6. Całka potrójna i jej obliczanie przez trzykrotne całkowanie

Niech funkcja f(M) będzie określona i ciągła w pewnym domkniętym obszarze G przestrzeni. Podzielmy obszar G na n obszarów częściowych w dowolny sposób. Oznaczmy objętości obszarów częściowych przez Av_lt Av₂,... Av„ i wybierzmy w każdym z nich pewien punkt M_ly M₂,....

M„. Obliczmy wartości funkcji f(M) w tych punktach i utwórzmy sumę

n

f(Mj)Av₁+f{M₂)Av₂+ ... +f(M_n)Av_n = £f(M_l)Av_i

<= i

nazywaną sumą całkową funkcji f(M) po obszarze G.

Tworząc sumę całkową obszar G można dzielić na obszary częściowe w różny sposób i w różny też sposób można wybierać w tych n obszarach częściowych po jednym punkcie M_t. Dla każdej więc funkcji i dla każdego obszaru G można utworzyć dowolnie wiele sum całkowych. Jeśli jednak n rośnie nieograniczenie, A średnica największego z obszarów częściowych dąży przy tym do zera, to wszystkie te sumy całkowe zmierzają do jednej i tej samej granicy* Granicę tę nazywamy całką potrójną funkcji /(A/) po obszarze G i oznaczamy symbolem fff/(M)dv.

G

Własności całek potrójnych są analogiczne do własności całek podwójnych i zwykłych całek oznaczonych: obszar całkowania wolno dzie-

lic na części składowe, całka sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych składników, czynnik siały wolno wyłączyć przed zn

Obliczanie całki potrójnej sprowadza się do obliczenia"całki trzykrotnie

iterowanej, tj. do kolejnego obliczenia trzech zwykłych jednokrotnych całek oznaczonych względem każdej ze zmiennych współrzędnych punktu przestrzeni trójwymiarowej.

Jeśli obszar całkowania jest odniesiony do układu współrzędnych prostokątnych Oxyz i jest dzielony na obszary elementarne za pomocą płaszczyzn równoległych do płaszczyzn układu, to objętość obszaru elementarnego (jako objętość prostopadłościaniu o krawędziach dx, dy i dz) wynosi dr — = dxdydz i całka potrójna ma postać

JJJf(M)dv = ///f(x, y, z)dxdydz

G

G

Jeśli przy tym obszar G ma tę własność, że proste poprowadzone przez go punkty wewnętrzne, równolegle do osi Oz, przecinają jego granicę (czyli powierzchnię ograniczającą obszar) tylko w dwóch punktach¹* (rys. 177), to całkę potrójną można obliczyć ze wzoru

f    f(x,y,z)dz    (*)

Rys. 177

') Jeśli obszar C ma kształt bardziej złożony, to przez odpowiedni podział na części składowe o podanej prostej postaci, sprowadzamy obliczanie całki do obliczenia sumy całek po obszarach składowych, które można już obliczać wg podanego wzoru.

357