18937 img284 (6)

Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby: A, B, C i D. Ograniczeniem w procesie produkcji są zasoby dwóch surowców: S_x i S₂. Niezbędne dane zawiera tabl. 14.

Tablica 14

Surowce	Zużycie surowca na jednostkę wyrobu (w kg)				Zapas surowca
	A	B	C	D	(w kg)
Sr	0,5	0,4	0,4	0,2	2000
S2	0,4	0,2	0	0,5	2800

Ceny wyrobów wynoszą odpowiednio: 10, 14, 8 i 11 zł. Ustalić wielkości produkcji tych wyrobów gwarantujące przy istniejących zasobach surowców maksymalny przychód z ich sprzedaży. Wykorzystać program dualny.

1.2, Problem mieszanek

W zagadnieniu optymalnego składu mieszaniny podejmujący decyzję pragnie określić, jakie ilości podstawowych surowców należy zakupić (zmieszać), aby otrzymać produkt o pożądanym składzie chemicznym przy możliwie najniższych kosztach zakupu surowców.

Szczególnym wariantem problemu mieszanek jest zagadnienie diety, w którym należy określić, jakie ilości produktów żywnościowych zakupić, aby przy racjonalnym zaspokojeniu potrzeb organizmu obniżyć do minimum koszty wyżywienia. A zatem celem decydenta jest wybór takiego składu mieszanki żywieniowej, która ze wszystkich dopuszczalnych byłaby najtańsza. Oczywiście, można żądać pełniejszej informacji, np. jaki będzie koszt nie-przyjęcia optymalnej mieszanki; o ile musi się obniżyć cena nowego komponentu paszowego, aby można było rozpatrywać go w charakterze centralnego składnika mieszanki paszowej itd.

Przykład 4. Spółdzielnia produkcyjna sporządza mieszankę paszową dla trzody chlewnej z dwóch produktów: P_Ł i P₂. Mieszanka paszowa ma dostarczyć trzodzie chlewnej pewnych składników odżywczych: S^ S₂ i S₃ w ilościach nie mniejszych niż określone minima. Zawartość składników odżywczych w jednostce poszczególnych produktów podano w tabl. 15.

Tablica 15

Składniki	Produkt		Minimalna ilość składnika
	Pi	P2
Sr	3	9	27
S2	8	4	32
s3	12	3	36
Cena (w zł)	6	9

Należy zakupić takie ilości produktów P, i P₂, aby dostarczyć trzodzie chlewnej składników odżywczych: S,, S₂ i S₃ w ilościach nie mniejszych niż minima określone w tabl. 15 i aby koszt zakupu był minimalny.

Zbudować model matematyczny tego zagadnienia i zastosować w rozwiązaniu metodę geometryczną.

Rozwiązanie. Przystępując do rozwiązania, wprowadzamy zmienne decyzyjne: x_l - ilość zakupionego produktu P₂ oraz x₂ - ilość zakupionego produktu P₂.

W konstrukcji modelowej musimy uwzględnić warunki, by w zakupionych produktach znajdowały się przynajmniej minimalne ilości składników odżywczych.

Zapiszmy warunek dla składnika odżywczego S, (łączna zawartość składnika S_x w produktach P₂ i P₂ powinna być nie mniejsza niż 27):

(1)    3xj +9x₂^27,

Podobnie możemy zapisać warunki dla S₂ i S₃:

(2)    8x₁+4x₂^32,

(3)    \2x₁ + 3x₂^36.

Zmienne decyzyjne muszą spełniać dodatkowo warunki:

(4)    oraz x₂^0,

które ograniczają zakres zmienności poszczególnych zmiennych (ilości zakupionych produktów nie mogą być wielkościami ujemnymi).

Na zakończenie zapiszemy funkcję celu. Rolę kryterium spełniają koszty zakupu. A więc

(5)    7^r(x₁, x₂) = 6x_x + 9x₂-» mini

Rozwiązaniem naszego zagadnienia jest taka para wartości x_x i x₂, która spełnia warunki (1)—(4) i dla której funkcja F przyjmuje wartość minimalną.

W rozważanym zagadnieniu występują tylko dwie zmienne decyzyjne, można zatem rozwiązać je graficznie. Na osi odciętych Ox_x będziemy odmierzać ilość zakupionego produktu P₂, a na osi rzędnych Ox₂ - ilość zakupionego produktu P₂ (rys. 5).

Warunek (4) ogranicza zbiór rozwiązań do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych.

Najpierw wyznaczymy zbiór rozwiązań dopuszczalnych. Weźmy pod uwagę warunek (1) i załóżmy chwilowo, że chcemy wyznaczyć wartości zmiennych x_x i x₂ w ten sposób, aby składnik S_Ł dostarczyć dokładnie w ilości 27 jedn. Jeżeli składnik odżywczy S_x będziemy dostarczać zakupując tylko produkt P_x, to x₂ = 21:3 = 9; zaznaczamy ten punkt na osi Ox_v Z kolei, gdybyśmy składnik S_t dostarczali zakupując tylko produkt P₂, to jc₂ = 27:9 = 3; zaznaczamy ten punkt na osi Ox₂. Łącząc te dwa punkty, otrzymujemy prostą a, która jest obrazem równania 3x_t + 9jc₂ = 27 (w sensie geometrycznym).

25