75731 S6300966

e) Hm x³ arc ctg —;

x—0~    ^x

1 — sin x

g) lim ---?

x—f    cos a:

f) lim

sh 2x

x—*o shx ’

\f x* -f i X—*— OO    x

V

i) lim

25* - 9³

x—»o 5* - 3*

h) lim j*) lim ( \/x³ + 1 —

X—»oo \

+1

Rozwiązanie

a) lim

c³ — x² + x — 1 u³ + x² — x — 1

= lim

⁸(x - 1) + (x - 1)

1 x (x² — 1) + (x^a — 1)

(x — 1) (x² H- l)    2

⁼ i¹® (x - i)(x +1)^{2 =} S® (~rp

b) lim

?/l+X - y/l- X _

lim

x—>0

(^i+*- w-*) (v(ⁱ+*)^J +

*({/(!+*)² + V(i+*)d-*) +

= lim

(1 + x) — (1 — x)

⁰ X ({/(1 + a;)² + ^/(i +x)(i -x) + ^/(l - x)²)

= lim

x—*0 / 3

1 + a;)² + ^(1 + x)(l - x) + {/(l - x)²)    ¹ +¹ +¹ ~ 3

Korzystaliśmy tutaj ze wzoru a³ — b³ = (a — 6) (a² + ab + 6²) , z twierdzeń o granicy sumy, iloczynu, ilorazu oraz o granicy pierwiastka funkcji.

,_    (4 + -)+²

.    v/l + X + 2    .. V \Z²    a;/

vT+

c) lim —    - . • = lim

_L    I ₊ 2

x²    x x

= lim

x—»oo

"o* + 1

x^l

+ 1

d) W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie o granicy funkcji złożonej. Dokonując podstawienia x — t⁶ otrzymamy

yi-io³ „*■ VF-io³ _ i³ -10³ _ (t -10) (t³ + 101+10=)

x->io° %fx — 10² t-^no — 10²    t-^?o t² — 10² t-*io (t - 10)(t +10)

t² + 10t + 10²    10² + 10² + 10² _ir

= hm -= -— = 15.

t—10 t + 10    10-1-10

10 + 10

t +10