IMGt45

9. Dla każdego X

(arc ctg x)' = —--.

l+x²

Z twierdzenia 1, biorąc za/funjccję x-+tgx zredukowaną do przedziału (-u.

wnosimy, że

(arctgy)'=

(tgx)'

—-=cos²x =

1 1

l + tg²x 1 +>²

otrzymując pierwszy wzór. Wyprowadzenie drugiego jest podobne.

2. Pochodna nieskończona. W przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych pojęcie pochodnej można rozszerzyć, przyjmując

x—a

/'(a)=lim

zawsze, gdy istnieje granica po prawej stronie. W konsekwencji może być/'(a)=+co oraz/'(«)=—oo. Nie będziemy jednak rozszerzać pojęcia różniczkowalności funkcji, tzn. za różniczkowalną w punkcie a będziemy uważać funkcję /wtedy, gdy f'(a) jest liczbą skończoną.

Można łatwo udowodnić

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f:D-*R jest ciągła w punkcie a e Int D, to istnienie nieskończonej pochodnej f\a) jest równoważne temu, że prosta o równaniu x=a jest styczną do wykresu funkcji f w punkcie (a,/(a)).

Niech na przykład f(x)=l]x, xeR. Mamy

/'(0)= lim —

Styczną do wykresu funkcji / w punkcie (0,/(0))=(0,0) jest prosta o równaniu x=0,

3. Twierdzenia Rollea, Lagrange’a i Cauchy’ego. Udowodnimy najpierw następujący

Lemat (Fermata). Jeżeli Dt«, /: D-*R, felnti) / f(x)^f(0 (albo /(x)</(0) dla każdego xeD, to z istnienia pochodnej funkcji f _w punkcie j wynika, żef(i)=0.

Dowód. Istnieje <$>0takie, że <£-<$; |+<5>_CjD. Niech x_H=Z+S(-l)ⁿ/n (n=1,2, ...j. Ponieważ i x*-*ć, więc

Jeżeli /(x)>/(£) dla każdego xe D, to

/(*«)-/    1 -/-(Q

jjjij i ssip

(/c«=l, 2,...) i w granicy dla k-co otrzymujemy /'(O>0^/'(^). Stąd /'(«n=6 Podobnie rozumuje się, gdy/(x)^/(£) dla każdego xeD.    '

p Twierdzenie 3 (Rol\e^ła). Jeżeli /: (a; by~*R jest funkcją ciągłą mającą pochodną W każdym punkcie przedziału (a; b) i/(a)=/(b), to istnieje punkt £ e (a; b) taki, że f'(0=0.

Dowód. Ponieważ przedział <a; by jest zbiorem zwartym, więc z twierdzenia Weier-stiassa(§ 17, tw. 8) wynika istnienie takich punktów x_x, x₂ e <a; b>, że

/(*iK/(xK/(x_a)

dla każdego x ę <a; by.

Jeżeli f(xi)=f(x₂), to funkcja jest stała, więc /'(x)=0 dla każdego xe <a; b).

Jeżeli/(Xi) </(x₂), to z równości /(a)=/(b) wynika, że przynajmniej jeden z punktów Xii x₂ jest punktem wewnętrznym przedziału <a; b}. Oznaczając go przez £ wnosimy z lematu Fermata, że f'(O=0.

Twierdzenie 4 (Lagrange’a o przyrostach). Jeżeli f: <a; b>->R jest funkcją ciągłą, mającą pochodną w każdym punkcie przedziału (a; b), fo istnieje punkt £ e (a; b) laki, że

/(*)-/(«1

b —a

Dowód. Niech

(x—a).

f(b)-f(a)

Funkcja ę spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, bo (p(a)=0=ę(b) i

f(b)-f(a)

9\^x)—f\^x)--r- dla xe(a; b).

b—a

Równość p'(£)⁼0 daje (6).

Twierdzenie Lagrange’a wypowiada się również w sformułowaniu nieco ogólniejszym: Jeżeli IczR jest przedziałem, /: /-►I? /ej* funkcją ciągłą, mającą pochodną w dowolnym punkcie zbioru Int / \ {a}, 0*feie a e I, to dla każdego x e / istnieje liczba & taka, że

0<#<1    ¹    /(x)^es/(a)+/^/(a + S(x—a))(x—a).

Twierdzenie 5. Niech I<^R będzie przedziałem. Jeżeli funkcja ciągła f:I-+R ma pochodną w każdym punkcie xe Int / i/^/(x)>0, to f jest funkcją rosnącą.

Analogicznie, jeżeli dla każdego x e Int / jest f'(x) < 0, to f jest funkcją malejącą. Dowód. Załóżmy, że pochodna jest dodatnia. Niech x_l<x₂. Na mocy twierdzenia Lagrange’a

/(x₂)-'/(x_l)=/^/«)(x₂~x₁)> 0,

tj- f(x₂)>f(x_l).

Tak samo rozumuje się, gdy pochodna jest ujemna.

Twierdzenie 6 (Cauchy’ego o przyrostach). Niech fg ; <a; b)~*R będą funkcjami ciągłymi. Jeżeli obie funkcje f i g są różniczkowalne na (a; b) i g'(x) *0 dla każdego x e (a; b), to istnieje punkt ę e (a; b) taki, że

/(fc)-/(a)

C(b)-g(_a)    _g'(()

0)