0346

348

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

dalej

wi

(n-ł-l)Oa = -*'¹'¹ ctg—8---—X'* [sin (iw+1)®—sin mOJ =

2    2    4sin*i0

2    Mw 8

n+1    1 _a sin (n+2) 0—sin 0

= —-—Ctg—-0--:-.

2    2    4 _si_n* i. $

2

Widać stąd, że *„ -*• -i ctg y 0.

We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy metodą Cesary tę samą sumą uogólnioną co i wyżej metodą Poissona-Abela. Dalej — w ustępie 421 — wyjaśnimy, że to nie jest przypadkowe.

Tutaj także liniowość metody jest bezpośrednio widoczna. Znane twierdzenie Cauchy’ego [33, 13)] gwarantuje w przypadku istnienia granicy

lim A„ = A ,

n-*oo

że ciąg średnich arytmetycznych {a,} ma tę samą granicę. Wobec tego metoda Cesary jest regularna.

421. Wzajemny stosunek metod Poissona-Abela i Cesary. Zaczniemy od prostej uwagi. Jeżeli szereg (A) jest sumowalny metodą średnich arytmetycznych do skończonej sumy A, to jest

fl» = o (n).

Rzeczywiście, z tego że cc„~₂ -* A i ^{,l +} ^ ot„ -* A wynika, że

n

(« + !)«,—_ A„

n    n ’

a więc także

_ Ag _i ^ 1 _t A_n — i _^ q

n n n n—1

co też należało udowodnić.

Zagadnienie postawione w tytule ustępu rozstrzyga następujące twierdzenie udowodnione przez Frobeniusa.

Jeżeli szereg (A) jest sumowalny metodą średnich arytmetycznych do skończonej sumy A, to jest on jednocześnie sumowalny metodą Poissona-Abela i przy tym do tej samej sumy.

Niech więc ot,, -> A. Wobec uwagi zrobionej na początku tego ustępu oczywista jest zbieżność szeregu potęgowego

f(x) = 'y'a_nxⁿ