66449 P3200183

294

294

(4.123)

(4.124)

Niezależnie od tego w pewnych kryteriach wykorzystuje się odległości d między obiektem i a obiektem k (/, k = 1, 2,..., n).

W konstruowaniu kryterium podziału najczęściej stosuje się miarę hetero-geniczności grupy zwaną wewnątrzgrupową sumą kwadratów¹⁰⁷

H'!¹ = SK

'l P

y y

(4.125)

gdzie x jest średnią wartością cechy j w grupie g (wzór 4.123).

Jest to więc suma kwadratów odchyleń wartości cech obiektów należących do skupienia g od średnich wartości cech (tj. centroidu) w tym skupieniu.

W roku 1965 Edwards i Cavalli-Sforza wykazali, że wewnętrzną sumę kwadratów SK _im ,, można wyrazić w kategoriach odległości (zob. Gordon, 1981)

(4.126)

gdzie = Z'_=I (.v._v — *_%)^J są kwadratami odległości euklidesowych między

obiektem i a obiektem k w grupie g, czyli według wzoru (4.6).

Relację Edwardsa i Cavalli-Sforzy możemy zatem zapisać w następującej postaci

W tym sensie termin „suma kwadratów” może być pozostawiony jako nazwa tej miary, jakkolwiek należałoby mówić „suma kwadratów odległości euklideso-wych" Miarę sumy kwadratów oraz wynik Edwardsa i Sforzy zilustrujemy w przykładzie 4.11 (zob. też przykład 4.12).

Przykład 4 11

Przyjmijmy, że skupienie liczy n _f = 6 obiektów, z których każdy jest opisany dwiema zmiennymi A, oraz X₂. Wartości tych cech, jr., oraz , u sześciu obiektów podano w następującym zestawieniu: ¹⁰⁷ Suma kwadratów odchyleń względem centroidu, czyli wewnętrzna suma kwadratów N'K_rl ., jest też nazywana sumą kwadratów błędu tang. errorsum of sąuares).

Obiekt (i)	» T	j	3		4		6 ; X. \
*u	_*_1	U	_\L.		18	» \	'28'-’ ?7 1
^xa	......jg-J	9	17	_L	28	22	12 \ 28 \

Korzystając ze wzoru (4.125), obliczamy sumę kwadratów odchyleń od śred nich:

== (6 — 17)- + (11 - 17)² +.. .+(20 - 18)' +.. .+(12- 18)² =316+ 238=554

Ten sam wynik powinniśmy otrzymać, wykorzystując wzór (4.126). W tym celu obliczymy kwadraty odległości euklidesowych

d_n = (6 — 11)^J + (20 — 9)³ =146

i_n =(6 —16)² + (20 -17)² = 109

d₅₆ = (23— 28)² + (22— 12)^J = 125 które możemy przedstawić w postaci macierzy odległości

f ^0
1146	0
1109	89	0
| 208	410	125	0
1 293	313	74	61	° \
[548	298	169	356	125 0]

146+ 109+...+ 125 6

Otrzymamy wartość miary heterogeniczności H ;

= 554

3324

6

Zdefiniowane zostały również inne miary heterogeniczności, jak na przykład • Suma odległości (ang. cligue)

h‘; =

(4128

która jest sumą odległości między parami obiektów w skupieniu g. a więc sumą elementów dolnego trójkąta macierzy odległości D jest ona związana z miarą H relacją. H ^ = n _f • H ’ , jeżeli pomiar odległości następuje według kwadratu me tryki euklidesowej.