87220 P1111268

42

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

³>J

x\n+x* %

Tu m = — 1, n = 5, /> = — -j-; drugi przypadek: -^/M^~ ■ = 0, v = 3. Podstawmy

/ = y/l-x^s ,    dx ~

mamy

+ i^-arctg^|L_+c

f dx    3 r tdt 1 f / 1    /-I \ _A 1 (f-l)^ł

J _XJ5 J r³-i 5 J (t-1 /²+/+ij^ io /■* + /+!

itd.

280. Wzory redukcyjne. Ponieważ całkę różniczki dwumiennej można przekształcić zawsze [patrz (2)] do postaci

Jp._ą = J (a + bz)^pz⁹dz ,

więc w dalszym ciągu ograniczymy się do rozpatrywania tych właśnie całek.

Wyprowadzimy kilka wzorów redukcyjnych, za pomocą których całka (3) może być, ogólnie rzecz biorąc, wyrażona przez podobną całkę /*'.«•> gdzie p' i q' różnią się od p i q o dowolne liczby całkowite.

Całkując tożsamości

(a + bź)^p+1z⁹ — a (a + bz)^pz⁹+b(a + bż)^pz⁹+^l ,

•^-[(fl + frz)”¹^¹] = (p+1) i (a + bz)’z^¹ +(9 +1) (a + bz)"*¹;* ,

znajdziemy

•Ip+i.a ⁼    »

(a+bzy^z⁹*¹ = (p+i)bJ_P'_0+lHq+V J_P+i.* Otrzymujemy stąd dwa pierwsze wzory

(1)

OD

(fl + óz)^,+1z^,+1    p+q+2 _r

--1--7—rrr •'p+i.4

a(p+1)

a(P+1)

(P* -1)

_T    (a + bz)^p+¹z⁹⁺¹    _p+q+2 _r    in __n

--7—TTv--^—?—TTT^p.a+l

«($ + !)    a($ + l)

które pozwalają zwiększyć wykładnik p lub # o jedność, jeśli tylko suma p+q jest różna od —1.

Rozwiązując te równości względem J_p+i,_qt J_p,_q+i i zastępując p i q odpowiednio przez p — 1 i q— 1 otrzymujemy wzory

(III)

p.«

(a + bz)^pz^9¥i    ap

p+q +1    ⁺ p+<j + l

(p+4 ^ -1),

_r _ (a + bzy^z⁹    aq _T

~ b(p + q +1)    T(p + ^+lY '

które pozwalają zmniejszyć wykładnik p lub q o jedność, jeśli tylko suma p+q]esl różna od —1.

Jeśli ani p, ani q, ani p+q, nie są liczbami całkowitymi, tak że całka J_rą nie wyraża się w postaci skończonej przez funkcje elementarne, wzory redukcyjne można stosować wielokrotnie bez żadnych ograniczeń. Za ich pomocą można na przykład sprowadzić parametry p i q do ułamków właściwych.

Zatrzymamy się na ciekawszym dla nas przypadku, gdy całka może być obliczona w postaci skończonej. Można przy tym założyć, że wykładnik p lub q jest całkowity, gdyż przypadek, gdy p+q jest całkowite sprowadza się do przypadku całkowitego q przez podstawienie z — 1/u.

Wtedy kilkakrotne kolejne zastosowanie wyprowadzonych wzorów pozwala sprowadzić wykładnik całkowity p lub q do 0, jeśli był on dodatni, lub do — 1, gdy był on ujemny. Na tym zwykle kończy się całkowanie lub w każdym razie znacznie upraszcza.

Przykłady.

1) Rozpatrzymy całkę (*)

H_m •=> f —    —dx (m — całkowite).

| Iplll

Tutaj n = 2,p = dlatego gdym jest nieparzyste,-- —-—jest liczbą całkowitą, a

*    n z

.    . . 1 m+1 ,    m+1 Im, .    ....

gdy m jest parzyste, parzyste jest--—=--— = —»a więc w obu przypadkach można

n    Ł    L L

obliczyć całki w postaci skończonej. Podstawienie z *= x² sprowadza naszą całkę do postaci

Jeśli przy założeniu, że m> 1, zastosujemy do tej całki wzór (IV), to otrzymujemy r    _    , m—i    .

•1-1/2,(m-l)IZ — —*■--r ——

m    m

lub powracąjąc do danej całki

H_m - —x^a~¹1/1=3?" +    H_m-₂.

m    m

Zmniejszając m o 2 wzór ten pozwala sprowadzić stopniowo obliczenie H_m albo do

Hy = f ----- = -yT^+c ^J y\—xⁱ

dla m nieparzystego, albo do

H₀ — f - ,    — — arc sin x+ C

dla m parzystego.

(^l) Analogicznie można też badać całki

$ V^T^dx' S