img023

PRACA I ENERGIA

Podstawiając h-R-x do wyrażenia na siłę wypadkową/'otrzymujemy zależność F(x)

F{x) = npg(jR²x - y.x³).

Dokonujemy całkowania

^{w= n}PS(R²x - jJt³)d.t - npg(jR²x² - -jy.r⁴)| _c

i otrzymujemy

ir-faifigR*.

, 61yNa podłodze leży łańcuch o masie m§ i długości L Jeden z jego końców podnosimy do góry dopóki łańcuch nie oderwie się od podłogi. Wyznaczyć minimalną wartość pracy jaką należy wykonać, aby podnieść łańcuch z podłogi w polu grawitacyjnym Ziemi w przypadku, gdy

a)    łańcuch jest jednorodny,

b)    łańcuch jest niejednorodny i jego masa m zależy od odległości x od jednego z końców według wzoru m(x) = nio(y)*'.

Minimalna wartość pracy będzie równa pracy zużytej do podniesienia całego łańcucha bez nadawania mu przyspieszenia. Wtedy siła, którą musimy działać jest w każdej chwili czasu równa ciężarowi podniesionej części łańcucha (o długości x - patrz rysunek). Siła ta wynosi:

Kx) = m(x)g,

a szukana praca:

W~!FU)dx.

o

a) W przypadku łańcucha jednorodnego masa części łańcucha podniesionej o długości x wyniesie

i stąd praca

m{x) = jm₀

1    l

W = f m(x)gdx = j ymggdr = •

< 1

- J jcdx =■ jm₀gl .

Czyli

b) Dla łańcucha niejednorodnego mamy zależność masy od odległości x

(62) Nieważka sprężyna może być ściśnięta o A.ro=lm pod wpływem siły .Fo=100N. Sprężynę tę umieszczono przy podstawie doskonale gładkiej pochyłości (a = 30" ). Ciało o masie m=10 kg, pozostające początkowo w spoczynku na szczycie pochyłości, zostaje zwolnione i ześlizguje się w dół. Ciało to zatrzymuje się po ściśnięciu sprężyny o A a:i= 2 m. Jaką odległość s przebyło ciało do chwili zatrzymania się ?

Jaką prędkość v miało to ciało bezpośrednio przed zetknięciem się ze sprężyną ?

(g= 9.81 m/s²)

Zadanie to najłatwiej jest rozwiązać korzystając z zasady zachowania energii. Energia potencjalna związana z wysokością zamienia się najpierw na energię kinetyczną a następnie obie zamieniają się na energię potencjalną ściśniętej sprężyny.

Sytuację w chwili zatrzymania się ciała opisuje równanie :

mgh =    2 >

gdzie h = ssina (patrz rysunek) a prawa strona równania jest energią potencjalną sprężyny ściśniętej o A*i,przy czym A:jest współczynnikiem sprężystości tej sprężyny. Współczynnik ten możemy wyznaczyć następująco:

k= — ^K Axo‘

Fq = kAxo a stąd ''

Po podstawieniu otrzymujemy

mgs sm a

2Ax₀

F₀Arf

³    ^ 2mysin uAxq

i ostatecznie po podstawieniu danych liczbowych s =4.1 m.

Bezpośrednio przed zetknięciem się ze sprężyną ciało miało prędkość taką, że

mv~

2

= mgh

1,

gdzie h\ =Cs-Axi)sina (patrz rysunek) a stąd

‘2g(s-A.Ti)sina =4.5-

63