009 (28)

Zad. 1 (5pkl)

Nie używając kalkulatora, porównaj liczby: a = log5• log20 + log² 2 oraz b = ^6-2\[5 .

Zad. 2 (6pkt)

Liczby Xi, x^ są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f(x)=x²-(a+l)x+a². Zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru a, aby ciąg [x, + x₂,^2,x_] -X-,) byl ciągiem geometrycznym.

Zad.3 (4pkt)

Oblicz sumą tangensów kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek pola tego trójkąta do pola kwadratu, którego bokiem jest przeciwprostokątna danego trójkąta,

. 1

wynosi —.

Zad.4 (7pkt)

Na prostej 1: x+y-6=0 wyznacz taki punkt C, aby długość łamanej ACB, gdzie A( 1,3), B(2,2) była najmniejsza. Uzasadnij swoje rozumowanie.

Zad.5 (6pkt)

Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica równa jest 4°. Największy kąt ma miarą 172 . Ile boków ma ten wielokąt? Ile ma przekątnych?

Zad.6 (4pkt)

Wykaż, żc jeśli A, B są dowolnymi zdarzeniami przestrzeni £2, to P(A u B) = P(A) + P(B) -P(AnB).

Zad.7 (4pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których zbiorem rozwiązań nierówności

■    > 1 jest przedział (3,7).

3-jc

Zad.8 (4pkt)

W równoległoboku ABCD kąt ostry DAB ma miarą 30°, zaś dłuższy bok ma długość 8. Promień koła opisanego na trójkącie ABD ma długość 4. Oblicz pole równoległoboku.

Zad.9 (4pkt)

W' prostokątnym układzie współrzędnych narysuj wykres funkcji f(x) =

Zad. 10 (6pkt)

Trapez prostokątny obraca sią wokół boku, tworzącego z podstawami kąty proste. Podstawy trapezu mają długości odpowiednio lOcm i 7cm. Pole trapezu wynosi 68cm². Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej.

Poziom rozszerzony Czas pracy: 180 min

Zadanie 1 (4 pkt.)

W pewnym rombie długość dłuższej przekątnej to 160% długości boku. Oblicz, o ile procent krótsza przekątna jest dłuższa od długości boku.

Zadanie 2 (4 pkt.)

Wykaż, że jeżeli a, b, c są liczbami rzeczywistymi oraz a² + b² + c² = ab + ac+ bc to a = b = c

Zadanie 3 (5 pkt.)

Dwa rurociągi napełniają zbiornik w czasie 4 godzin i 48 minut. Gdyby ten zbiornik napełniać za pomocą tylko jednego rurociągu, to drugi napełniłby go w czasie o 4 godziny krótszym od pierwszego. W jakim czasie napełni zbiornik samodzielnie każdy z rurociągów?

Zadanie 4 (5 pkt.)

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |4B| = 36 i \AC\ = |BC| =

= 30, punkt D jest środkiem ramienia BC. Oblicz długość odcinka AD. Wynik podaj z zaokrągleniem do dwóch miejsc po przecinku.

Zadanie 5 (3 pkt.)

Pole równoległoboku, w którym kąt ostry ma miarę 30° i jeden z boków ma długość 20, jest równe 80. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.

•—_ Zadanie 6 (3 pkt.)

Liczby x - 7, x² -1, x -3 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz x.

--Zadanie 7 (6 pkt.)

Wyznacz wszystkie wartości x należące do przedziału <0;2u), dla których liczby cos² x, cos² x + sin² x, w podanej kolejności, są pierwszym i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego, w którym suma pierwszych czterech wyrazów jest równa 5.

Zadanie 8 (5 pkt.)

Punkt 4=(-l,2) należy do okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 9 (4 pkt.)

Jedenastu panów, wśród których są X, Y, Z, ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo, że pan X będzie stał obok pana Y i pan Z nie będzie stał obok pana Y.

Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

i