II - 59
Zad.l (5pkt)
Nie używając kalkulatora, porównaj liczby: a
= log5 1og20 + log2 2 oraz b =
Zad. 2 (6pkt)
Liczby xj, X2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f(x)=x2-(a+l)x+a2. Zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru a, aby ciąg (x, 4- x2,42,.v, • x2) był ciągiem geometrycznym.
Zad.3 (4pkt)
Oblicz sumę tangensów kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc, że stosunek pola tego trójkąta do pola kwadratu, którego bokiem jest przeciwprostokątna danego trójkąta,
. 1
wynosi —.
Zad.4 (7pkt)
Na prostej 1: x+y-6=0 wyznacz taki punkt C, aby długość łamanej ACB, gdzie A(l,3), B(2,2) była najmniejsza. Uzasadnij swoje rozumowanie.
Zad.5 (6pkt)
Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica równa jest 4 . Największy kąt ma miarę 172 . Ile boków ma ten wielokąt? Ile ma przekątnych?
Zad.6 (4pkt)
Wykaż, że jeśli A, B są dowolnymi zdarzeniami przestrzeni £2, to P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B).
Zad.7 (4pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których zbiorem rozwiązań nierówności 2 m , .
-> 1 jest przedział (3,7).
3-x
Zad.8 (4pkt)
W równoległoboku ABCD kąt ostry DAB ma miarę 30 , zaś dłuższy bok ma długość 8. Promień koła opisanego na trójkącie ABD ma długość 4. Oblicz pole równoległoboku.
Zad.9 (4pkt)
W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj wykres funkcji f{x) =
Zad. 10 (6pkt)
Trapez prostokątny obraca się wokół boku, tworzącego z podstawami kąty proste. Podstawy trapezu mają długości odpowiednio lOcm i 7cm. Pole trapezu wynosi 68cm2. Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej.
W pewnym rombie długość dłuższej przekątnej to 160% długości boku. Oblicz, o ile procent krótsza przekątna jest dłuższa od długości boku.
Wykaż, że jeżeli a, b, c są liczbami rzeczywistymi oraz a2 + b2 + c2 = ab + ac+ bc to a = b = c
Dwa rurociągi napełniają zbiornik w czasie 4 godzin i 48 minut. Gdyby ten zbiornik napełniać za pomocą tylko jednego rurociągu, to drugi napełniłby go w czasie o 4 godziny krótszym od pierwszego. W jakim czasie napełni zbiornik samodzielnie każdy z rurociągów?
W trójkącie równoramiennym ABC, w którym \AB\ = 36 i |4C| = \BC\ = = 30, punkt D jest środkiem ramienia BC. Oblicz długość odcinka AD. Wynik podaj z zaokrągleniem do dwóch miejsc po przecinku.
Pole równoległoboku, w którym kąt ostry ma miarę 30° i jeden z boków ma długość 20, jest równe 80. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.
Liczby x - 7, x2 -1, x -3 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz x.
Wyznacz wszystkie wartości x należące do przedziału <0;2tc>, dla których liczby cos2 x, cos2 x + sin2 x, w podanej kolejności, są pierwszym i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego, w którym suma pierwszych czterech wyrazów jest równa 5.
Punkt 4=(-l,2) należy do okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych. Wyznacz równanie tego okręgu.
Jedenastu panów, wśród których są X, Y, Z, ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo, że pan X będzie stał obok pana Y i pan Z nie będzie stał obok pana Y.
Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
i