021(1)

Rozwiązanie. Każda z danych funkcji jest sumą n ] wyrazów postępu arytmetycznego. Różnice tych postępów wynoszą odpowiednio: 1(1

~1^1	^!	) —-1 (n—1)
i \77	n	/ ^2

lim Sj — (lim 77    1) = i oc

n~> ] co    • —

Sumując i przechodząc do granicy znajdujemy: 1) Ój -

2) S₂

lim 5

77 _! 7 1 2    \ /7^:

1 2

77-1 1	^J (1 ^1
^ J	^2( »
1	^1
lim 77	J ^2
» i\	_ ^1 / ^1
W)	2 \ n

0

„ i r 1 ii

lim S, = -    —-— — yr.

"    2 L hm n (hm uf

W zadaniu tym funkcje Sj, S₂, S, są dla 7? -> 7 oo sumami nieskończenie małych wielkości, których liczba nieograniczenie rośnie wraz z n. Otrzymane wyniki wskazują, że S, jest wielkością nieskończenie wielką, S₂ —

wielkością dążącą do a S_} — wielkością nieskończenie małą.

Z rozwiązania tego zadania wynika, że jeżeli liczba nieskończenie małych składników sumy rośnie nieograniczenie, to sama suma może być dowolną wielkością.

r

42. Wykazać, że dla dowolnej wartości x, wartość lim ' , —O¹¹.

n—i*® ⁿ‘

Rozwiązanie. Dla dowolnej liczby x, zawsze można znaleźć takie dwie kolejne liczby naturalne k i k7-1. między którymi zawiera się | xj. tj. takie, że k < x </< — !.

Wychodząc z powyższego, otrzymamy następującą oczywistą nierówność

^1 X- j ^1 x^k X	X X	W 1 A* I	r n-k ! *' |
n\ kl ■ 1	k+2 k~\~ 3	• 7, | ki ,	r^+1 i

^J) Symbol n! (i;— silnia) oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od l do n; //! = 1-2-3 ... 77.

Pierwszy z czynników ,\f_l = ~, nie zależy od n i dla dowolnej zadanej

|    ' H — £

Wartości .v jest wielkością stalą; drugi czynnik M₂ = Urn :    dla ⁿ + ⁰⁰

|    ^ I

będzie wielkością nieskończenie małą, ponieważ _k —_t <1 (patrz rozwiązanie zad. 29).

Dlatego iloczyn MiM₂, jako iloczyn stałej i wielkości nieskończenie małej, jest wielkością nieskończenie małą, a zatem i funkcja — będzie także wieł-

Xⁿ

kością nieskończenie małą, tj. dla dowolnej wartości x będzie lim — ^0.

n-H cc

Znaleźć następujące granice:

• /^J+3'

44. lim — _=r

ł t 13

46. lim 5 sin —^V-

x—x—n

2) lim , —^ , -

X .4-0 1 —2^0lB

43. lim (x²+5*+6)

2

45. lim

>• -o x² fy²M tg 2y

47. 1) lim - - ~ -

„1-2⁰'^{1 2}

48. Jak zmienia się kąt wewnętrzny a„ i wysokość /i„ poprowadzona ze środka wielokąta foremnego, gdy ilość boków; n wielokąta rośnie nicogra-niczenie?

41

1

7. Obliczanie granic

Granica funkcji w danym punkcie nie zależy od tego, czy funkcja jest określona vr tym punkcie czy też nie. Jednak w praktyce, gdy obliczamy granice funkcji elementarnych, fakt ten można w-istotny sposób wykorzystać.

a. Jeżeli rozpatrywana funkcja jest funkcją elementarną i jeżeli wartość graniczna argumentu należy do dziedziny funkcji, to obliczenie granicy sprowadza się po prostu do podstawienia wartości granicznej argumentu, ponieważ granica funkcji elementarnej f(x), gdy x dąży do wartości a należącej do obszaru określoności funkcji, jest równa wartości szczególnej, jaką funkcja ta przybiera dla x = a, to znaczy

2

lim f(x) ==/(«)