036(1)

natomiast na prawo od punktu x — —1-funkcja F(x) — więc lim F(x) = lim — = — 1

jc—> —1+0    X

Znalezione granice jednostronne są skończone, ale różne. Dlatego w punkcie x— —1 funkcja ma skończoną nieciągłość.'Skok funkcji w tym punkcie jest skończony i wynosi

lim F(a) — lim F(x) = — 4

X—r— 1 -f* 0    JC-*-—1—0

We wszystkich pozostałych punktach osi liczbowej funkcja jest ciągła; wykres funkcji podano na rys. 31.

124.    Sprawdzić, że dla funkcji elementarnych:

\)y — xⁱ—2x    2)z = \^/x    3) u = — *    4) v — cos 2x

x " y

obszar ciągłości funkcji pokrywa się z obszarem określoności.

125.    Znaleźć punkty nieciągłości, jeśli istnieją, oraz skok podanych niżej funkcji w każdym punkcie nieciągłości:

^1} *7 xⁱ—3x?—4x    ^2)y = f^r\ ³) Z = Ig (2.v+l)

1    1    a:

4) y = arc sin -    5) y = —/=—=■    6) y =-

x    | X²—1    cos ,v

126. Dla każdej z poniższych funkcji:

1) Z —	4	2) y = xĄ^ • x-j~2 • ^1 (
	x^2-2x+l
3 )y =	2 jc — 1 | x^2—X^3	4) Z = V	2-1
	*, gdy x < — l		1 -x^2,	gdy	A' < 0 | 0 <2 x > 2
5) y =	^2 v_j, gdy x>-i	6)* y =	(A-l)^2, .4-*,	gdy gdy

wyznaczyć punkty nieciągłości, skok funkcji w każdym punkcie nieciągłości i sporządzić wykres.

2 sin |3x+ -y Ja.-| sin y Ax

III. ¥ = -

Ax

Jt* X

IV. lim    = —2 lim sin [3x-|-■ lim-

j.v ^o Ax    \    2    ]

sin zł*

Ax

Ax

2    .    3

= — 2 sin 3x ■ lim —.— = —2 sin 3x ■ —- = —3 sin 3x Ax    2

(przy obliczaniu granicy ilorazu dwóch nieskończenie małych wielkości jedną z nich zastąpiliśmy wielkością nieskończenie małą równoważną

sin Ax ~ Ax; patrz własności nieskończenie małych równoważnych,

~2 ^Ax ~ '2

rozdz. I, § 9). Zatem

(cos 3.v)' = — 3 sin 3x

128. Na podstawie definicji pochodnej / — lim wyznaczyć pochodne

J.c—0

Ax

następujących funkcji:

3 )Z = -V

1 x

6)* y = tg 2x

\)y = x^z+5x-l 2)jr=~

4) y = ] 4x-f 1    5) y = sin 3x

§ 2. Pochodne prostszych funkcji algebraicznych i trygonometrycznych

Pojęcie pochodnej ma szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu rozmaitych zadań. Nie ma jednak potrzeby obliczenia pochodnej w każdym przypadku za pomocą przejścia granicznego, czyli za pomocą tych czterech operacji, które podaliśmy w ogólnym sposobie różniczkowania funkcji.

W praktyce pochodne funkcji elementarnych znajdujemy z podstawowych wzorów na pochodne jak to wyjaśnimy na przykładach.

Podstawowe wzory rachunku różniczkowego:

1) (c)' = 0    2) (m+c—w)' = h'-|-©'— >/

3) (uv)' = uvĄ v'u    3a) (cu)' = cu'

75