049(1)

Każdy z tych wzorów powstaje na podstawie jednej i tej samej reguły ogólnej: pochodna względem x wielkości z, danej równaniami parametrycznymi, równa się stosunkowi pochodnych z i x wziętych względem parametru t.

236. Wyznaczyć pochodne wskazanego rzędu dla następujących funkcji określonych parametrycznie:

1)

ix = ksmt-\-sinkt

]y = kcost-\-coskf, obliczyć y' dla t = 0 Jaki jest sens geometryczny wyniku?

= a²+2a

(y = ln (a+1); wyznaczyć y"

3)

| y = a<p-\-e~^a,p; wyznaczyć y"

Rozwiązanie: 1) Wyznaczamy pochodne x i y względem parametru t

-T- — kcos t-\-k coskt, ~~ = — ksmt — ksmkt

Szukana pochodna y względem x jest ilorazem pochodnych y i x względem t

dy

dy _ dt _ klńntj-smkt) dx dx^~    k(cos t+cos kt) ~

dt

. . t-l-kt

2 sin—₂—

2 cos

t+kt

t—kt

cos-₂—

t—kt

cos

Jk+1

-tg-f t

dy

Dla t = 0, ~ = 0. Zgodnie z geometryczną interpretacją pochodnej

(§ 1), styczna do wykresu danej funkcji w punkcie (0, /c+l), gdzie t = 0, jest równoległa do osi Ox.

2) Wyznaczamy pochodne i y względem parametru a

dx

d'x

= 2oc+2,

dy_

dtz

1

K-hl

Z kolei znajdujemy pochodną y' względem a, a potem drugą pochodną funkcji y względem x, będącą stosunkiem pochodnych y' i x względem a

-3

dy'

da

(« + l)

dy' dy' dx

“3

"^V dx da ' da 2(a4-J)    2(a-j-l)⁴

3) Posługując się ogólnymi wzorami (A) na w'yznaczanie pochodnych funkcji danej równaniami parametrycznymi, otrzymujemy kolejno

, dx dy dx a—ae~^ao

ae

oraz szukaną pochodną y względem x d v    dv dx

y =

i

dx da ' da 2(a + l)^:

= 4(«d-l)-²

dy d<p ' dep

v" = OL ₌ -^y’ _; ^dx ₌ 2₌ 2e-^__e-2a_V

dx dtp ' dw    ae^aq‘

dv"    dv" dx    2ae~^2a^ — 6ae~^3a'^t’

_v'" =    = ~A_ ■ ^ax ₌ tfl----Ef_- = 2e^-30''’ —óe^-4341

,    </x d(p df    ae^aę

Wyznaczyć pochodne wskazanego rzędu:

x = r

237.

238.

239.

y = t³; wyznaczyć

dx

x

3at

T+S

3at²

, dy

y = _lf/T; wyznaczyć

x = a cos r

, r/²y

y = a sin /; wyznaczyć p = cosa-j-a sin a

. d²q

q = sin a—a cos a; wyznaczyć

240.

101