124 125 (3)

124

Przestrzenie euklidesowe

a)    Mamy (t'i, $3) = 0, | Sj | = \/20, | <>₃1 = >/45. Jest to więc baza ortogonalna przestrzeni Fr, a współrzędne [01,03] wektora u w tej bazie wyrażają się wzorami

_ [U, Ł’i) _ _ J>_ _    3    _ (u, tb) _ 11 _

” I v, I² ~ ~ 20    TF* "^3_ |5j|^J    45    15

b)    Zachodzą związki (5_X| tJ₃) = (vj, *3) = (tJj. v₃] = 0. Ponadto |i>i| = |v₂| = | £31 = 1

Rozważana baza jest zatem ortonormaina Współrzędne    wektora w w tej bazie

są równe

£1 =(«. »i) = 0    02 = (u,v₂) =    03 = [i, t3o) = -²y^-

c)    Łatwo s:ę przekonać, że

(Pi.Pz) = (P1.P3) = (Pl.Pl) = (P₃ Pa) = (P2»P|) = (P3.P4) = ⁰

Dalej

IpiI = ². Ip₂I = Ip₃I = i. IpJ =³

Stąd wynika, że podana baza jest ortogonalna, a współrzędne (71,72: 73,7*] wektora q w tej bazie są równe

(<7. Pi)	_ 2 _ 1	T, _ U.P;) _ “^3 _ 3
|p.l^2	4 ^- 2	lvJ ' l '
(<7 P3)	2	- (ł w) - ^0 = 0.
|p.,r	I	Ip,l' ^9
ze rzeczyw	iście i^2 —	X + 1 = i • 2 - 3 (r + r^2) + 2 (z + 2z^2)

• Przykład 13.2

j~2    12    [2

Sprawdzić, że funkcje y-sinSz, y — sin4z, y — sin6z, ... tworzą nieskończony układ ortonormałny w przestrzeni euklidesowej wszystkich rzeczywistych funkcji

ciągłych na przedziale | — —, -| z iloczynem skalarnym określonym wzorem

a

(/. 9) = J Ą*)g(x)dz.

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw normy wszystkich podanych funkcji Dla ti £ N mamy

Tizynasty tydzień - przykłady    A25

OrLoronal ność wszystkich par funkcji z podanego zbioru wynika z tego, ze dla dowolnych m, n G A' takich, że n ^ rn zachodzi zależność

— sin 2ni n

sin 2r?tr sin 2nx dx

+ n)t]} dz

{cos [2(m — n)z] - cos[2(m

2

[ sin 2(m - n)z]	i	sin [2(m + n)z]
2x(m — n)	-i	2jr(m + n)
= (0-0) -(0-0)	= 0.

Uzyskane wyniki potwierdzają więc ortonorir.alność danego zbioru funkcji.

• Przykład 13.3

Stosując metodę Grama Schmidta zortogonalizować podane wektory zc wskaza nych przestrzeni euklidesowych:

a) Sj = (1, -2,0), u₂ = (5, 5,1), S₃ = (5,4,4) w przestrzeni E³;

b) iii = (1,0,1,0). u₂ = (0.2,2,0), U3 = (0,1,0 1) w przestrzeni £⁴;

c)    p, = 1, p₂ = r, p₃ = x² w przestrzeni R₂[x\ z iloczynem skalarnym określonym wżerem

(p. ?) = p(-l)ł(-l) + p(0)g(0) + p(l)?(l).

Rozwiązanie

Ortogonahzacja Gran.a Schmidta liniowo niezależnych wektorów £1, ife. . ., £_n w przestrzeni cuklidesowej E polega na wyznaczeniu takich wektorów ortogonalnych Sj, £*, . ., £_n, aby ukladj wektorów { £j, £₂,..., £*} cra2 {£1, £2, • • •, ik) generowały te same przestrzenie dla k — 1,2,... n.

a) Dokonamy bezpośredniej konstrukcji wektorów £₂, £3 metodą Grama-Schmidta. Przyjmijmy r.a początku, że 5j = £j = (I,—2,0). Warunek generowania identycznych przestrzeni przez wektory £] 1 £_; jest oczywiście spełniony. Równość

lir {uj, i₂) = lin { £1, £2}

będzie zagwarantowana, gdy wektor £2 będzie postaci

£2 = £2 + a£j = (5 + a 5 — 2a, 1), gdzie a € ii Współczynnik a obliczamy z warunku orlogonalności £2 -L £j. Mamy

(5i. £2) = (5 + a) • 1 + (5 - 2a) • (-2) + 1 0 = -5 + 5a = 0.

Stąd a = 1 i £? = (6,3, 1). Wektor £3 wyznaczamy z warunku

£3 = £3 + &£i + c £5 = (5 + b -f 6c, 4 — 2fc -f 3c, 4 + c), gdzie ł,c6 R,