124 125 (3)

124 **r*rx''*WMŁS Przestrzenie euklidesowe

^a) Mimy (t’i > Va) - 0, | tj | = \/20, | i.*21 = y/45. Jest to więc baza ortogonalna przestrzeni E*. a współrzędne [oi, a?] wektora u w lej bazie wyrażają się wzorami

|vi|²

A. — _    _ (**» *3) _ 12 _ 4

20 ID’ ~ |v₂1² - 45 “ Ts

b) Zachodzą związki (5_X, 63) = (*,, *3) = (t5_2: v₃) = 0. Ponadto |v,| = \ v₂ \ = | £31 = 1

Rozważana baza jest zatem ortonormalna Współrzędne (^i,    wektora ti w tej bazie

są równe

(i, Ł'i ) = 0    02 ⁼ (ti 1 i^) —

[7

03

= («, tJ₃) = -2%/i

V 3-    =

c) Łatwo się przekonać, że

(Pi>Pz) = (Pi.Pa) = (Pi.P<) =(Pa P₃) = (P2.P«) = (P3.P₄) = °

Dalej

IpiI = 2, |p₂| = |p₃| = i, |p_Ą\ =3.

Stąd wynika, że podana baza jest ortogonalna, a współrzędne (yi, 72 73, 74] wektora q w Lej bazie są równe

₌ tg. p.> ₌ 1 _ i _ (<?,?,) _ -3 _

ⁿ . .2    « “ o» 72 — — ~r~ —    — —o,

IpiI

Ip₂|

73

₌    P3) ₌ l ₌ O ~ ₌    P«) _ 0

ip₃r 1    *    ⁴ i_P4r *

Sprawdzimy jeszcze, ze rzeczywiście x² - x + 1 = i • 2 - 3 (r — r²) + 2 fz + 2z²) .

• Przykład 13.2

j~2    [2    (~2

Sprawdzić, że funkcje y — sin 2ar, y — $in4z. y — sinor, ... tw^rorzą nieskończony układ ortonormalny w przestrzeni euklidesowej wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych na przedziale [—    — J z iloczynem skalarnym określonym wzorem

a

(/,!?) = J Ąt)g(x)dz.

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw normy wszystkich podanych funkcji Dla n € N mamy

*

=(H)^{i =}

V -t /

sin 2nx

/7.

1.

Tizynasty tydzień - przykłady

ićb

Ortogonalność wszystkich par funkcji z podanego zbioru wynika z tego, ze dla dowolnych m,n £ A' takich, że n rn zachodzi zależność

cos [2(m + n)z]} fiz

-ł

[sin [2(m - n)r]	i	sin [2(m 4 n}r]
2x(m - n)	r “7	2ar(m 4 n)

= (0 - 0) - (0 - 0) = 0.

Uzyskane wyniki potwierdzają więc ortonorir.alność danego zbioru funkcji.

• Przykład 13.3

Stosując metodę Grama Schmidta zortogonalizować podane wektory zc wskaza nych przestrzeni euklidesowych:

a) Sj = (1, -2,0), U2 = (5, 5,1), u₃ = (5,4,4) w przestrzeni E'\

b) ii i = (1,0,1,0). tt2 — (0,2,2,0), U3 = (0,1,0 1) w przestrzeni E^A\

c)    p, = 1, p₂ x, p₃ = z² w przestrzeni i?₂[^] z iloczynem skalarnym określonym wzorem

(p. <i) = p(-i)^(-i) + P(0)«(0) + p0)?U)

Rozwiązanie

OrtogonaJizacja Grarna Schmidta liniowo niezależnych wektorów iii, u₂. . u„ w przestrzeni euklidesowej E polega na wyznaczeniu takich wektorów ortogonalnych tj_a, v_2} . ., v_n, aby układy wektorów {, £2, -.., Uk) eraz {vy, ?2, • • •, &’*} generowały te same przestrzenie dla k = 1,2,... n.

a) Dokonamy bezpośredniej konstrukcji wektorów th, v_2t metodą Grama-Schmidta. Przyjmijmy na początku, że 3] = 5} = (1,—2,0). Warunek generowania identycznych przestrzeń: przez wektory ii] i {i; jest oczywiście spełniony. Równość

lin { ui. i₂} = lin { Vj, v₂ }

będzie zagwarantowana, gdy wektor v₂ będzie postaci

v₂ — u 2 4- a t5j = (5 + d 5 — 2a, 1), gdzie a £ R.

Współczynnik a obliczamy z warunku ortogonalności v₂ -L V\. Mamy

(«i, %) = (5 + a) • 1 + (5 - 2«) - (-2) + 1 0 = -5 + 5a = 0.

Stąd a = 1 i v₂ = (6,3, 1). Wektor £3 wyznaczamy z warunku

V3 = U3 + bvi -t- c v₂ — (5 + b 4 6c, 4 — 26 4- 3c, 4 -f c), gdzie b,c £ R,