120 121 (3)

120 37f''HlufliTfflą SSjSrrtiTr*ńi Przestrzenie euklidesowe

Zatem

cos iaz + 6,sin z) =

■2 xa

-2 a

fs    f&

y ja²*^-3 "b    + 26² ?r ^ -c²x² + 4aór -f-

2t

26²

Zauważmy, żc a < 0. Po prostych przekształceniach otrzymamy a* + 6 = 0. Przyjmując teraz np. 6=1, otrzymamy a =--. Szukanym wielomianem jest zatem p{x) = 1 — —

TT    X

• Przykład* 12.6

Stosując nierówność Schwarza w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych uzasadnić nierówności:

aj (a² + b^Ą + c⁶) ^ (1 -f b² + c⁴) (a⁴ -ł- b⁶ -f c⁸) dla dowolnych a,6.c€ R, b) ly f(z)g(x)dz | ^ j f ²(z)g⁷{x)dr dla dowolnych /, g € C(A).

Rozwiązanie

Dla dowolnych wektorów u, ti w przestrzeni euklidesowej E zachodzi nierówność Schwarza postaci |(u, Si ^ |u||t>|. Po podniesieniu obu stron tej nierówności do kwadratu otrzymujemy zależność (i, t?)² ^ |5|² |t*|² .

aj Niech i = (xi, 12,13)1 y — (y1.y2.y3) będą wektorami przestrzeni euklidesowej E³. Nierówność Schwarza w tej przestrzeni ma postać

(xiyi + x₂y₂ + *3yo)² < (2? + x\ + z²) (y? + y₂ 4- y?)

Zadaną postać wzoru otrzymujemy przyjmując z = (l,6, c²). y = (a²,6³,c⁴) .

b) W przestrzeni euklidesowej wszystkich funkcji ciągłych na odcinku (0,1], z iloczynem skalarnym, określonym wzorem

(/:

1

./»)=Jf_t

(x)/₂(x) dz,

zachodzi związek

/₂^J(x)dr .

/,(*)/,(*> yj =(/. /.i* < i/.i¹ i/.r=y

Wystarczy teraz zastosować tę nierówność do funkcji f_x(x) = f[x)g{x), /₃(z) = 1.

Zadania

O Zadanie 12.1

Sprawdzić, ze podane funkcje (    ) są iloczynami skalarnymi w rozważanych prze

strzeniach liniowych:

Dwunasty tydzień -

a) (5, y) = 2xjyi - riy₂ - x₂yi + a?2J/2 dla * = (^xi. *2): V — (l/i. S&) € R ;

b)    (x.y) = [*1*2]

c)    (2, y) = [X1X₂X3]

4 -1 1

“I 1 J V2

dla x = (xi,x₂), y = (yi.jfc) € R², dla x = {zi,x_2lx_a)_l

2 0-1'		yi
0 0		yi
-l 0 1		. & .

y = (y1.y2.y3) E #³; d) (p, y) = £ p(x_t) 9 (*,-) dla p, g € iZ_n[xJ, gdzie *i < *2 < • < *n+r.

n+1

1

^e)

(/, g) = j(x + 1 )/(2r)_s(2i) dx dla /, ff £ C([—2,2])

O Zadanie 12.2

Uzasadnić dlaczego podane funkcje (•,*) nic są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych:

a) (x, y) = 2xiyi + 3xiy2 - x₂y_: + 5z₂y2 dla z = (zj,x₂), y = (yi.i/2) € R²\

12-1'		yi
1 4 -1		V2
3 S 1		. ys.

b)    (5, y) = [ri x₂x₃]    14-1 y₂ dla z = (xj. x_2l x₃),

y = (y1.y2.y3) € R³\

c)    (p, Q) = p(l)ę(l) - p(²)g(2) dla P,qe *i[x];

d)    {p, q) = P (^x«) 9 (*1) dla p, <7 E -Rr.[x], gdzie xj < r₂ < • < x„;

»=l

Ł

e)    (./,y) = y* |/(x)0(z)|dx dla/, y E C([a»);

a

1

0 (/. s) = J /[*)s (J*) dla/, g € C([-l,l]).

-1

O Zadanie 12.3

W przestrzeni euklidesowej E⁴

a)    obliczyć normę wektora (—1,1,2, -3);

b)    zbadać ortogonalność wektorów (1,4,—1,2), (3,—1,2, — 1);

c)    obliczyć kąt między wektorami (1,3,0, —1), (3,1,1,0);

d)    opisać zbiór wszystkich wektorów ortogonalnych do każdego z wektorów (2, 1,0, 1), (0, -2, 1, 1) i wskazać jeden wektor z tego zbioru o normie równej 2;

e)    podać przykład wektora unormowanego tworzącego z wektorem

(1,2, 0, -2) kąt y.

O Zadanie 12.4

Obliczyć kąt, jaki tworzą wektory p₀ = x + 1 , q_c = z — 2 w przestrzeni cuklide-