118 119 (4)

- -Przestrzenie euklidesowe

MU

• — *

a)    (P.«) = p(-1)9(-1) + P(2)ł(2);

b)    (P, «) = P(0)ę(0)+p'(0)9'(0);

ł

^:) (P <l) = J p(x)q[x)dx, przy czym p, q € jR,(x].

d*) Wskazać taki iloczyn skalarny w przestrzeni Hi [z], dla którego podane dwa wektory będą unormowane i ortogonalne.

Rozwiązanie

a)    Mamy |p₀|² = 6² + (-6)² = 72, \q₀1² = (-3)* + O² = 9, zatem

_rn. y , _n _ x (Pd»9 o) _6(-3) + (-6) 0    v/2

^cos * ^(?#* ^9o) - bTO ~ ~ wr - "t-

Podane wektory tworzą więc kąt —i.

4

b)    Tutaj |p₀|² = 2² + (-4)² = 20, \q₀\² = (-2)² + l² = 5, zatem

cos <* (p_Cl q₀) =

2( 2) + (—4) • 1    4

v'20v^/5

W tym przypadku £ (Pc <7d) = *rccos f —

c) Analogicznie

IPoT = J

o

(Po- «o) = J

o

Otrzymujemy więc zależność

cos <* (p₀, q₀) =

(2 — 4x)² dr — \q_c\

= /^(r~

2)^x = I.

(2 - 4x)(x — 2) dr = —j.

M

I ostatecznie <f. (p₀» fle) ^{= arccos}

d*) Zauważmy, żc wektory p₀, g_c tworzą bazę przestrzeni liniowej Hi [z). Niech p, q będą dowolnymi wektorami z przestrzeni Hi [z] o współrzędnych w bazie p₀, q₀ równych odpowiednio (<*1.02], [di.A]. Iloczyn skalarny (•,-), który chcemy określić ma spełniać warunki (p₀, p₀) = 1, (<7o. flo) = 1 ora* (Po* «o) = 0- Dl* wektorów p. <7 oznacza to, że

(p. 0) = (o;p₃ + ar₇q_o,0ip_c + &7o)

= <*_ły3i (Po. Po) + <*»02 (Po, «7₀) + 0T2^1 U₀. Po) +    (?₀, <7₀) = <*101 + ^a702-

Zauważmy ze jest tylko jeden iloczyn skalarny o podanej własności Konkretnie dla wielomianów p = ax + b, q = aj z + A;, gdzie a,b,a\,b\ € R, zachodzą związki

p = -i(2<z+ MPo - j(« + 2Ł)fl₀,    <3= -i(2a, + ii)Pc “ j(^QJ + ²M<7o.

zatem

ip, <y) = —(2a + b) (2ai + bi) -f —(a 4- 2b) (aj -f 2&i).

36    “

# Przykład 12.5

W przestrzeni liniowej C([0,2x]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem

2t

a)    obliczyć normy funkcji    1,    i,    2sini —    3cosx;

b)    podać przykład wielomianu    możliwie    najniższego stopnia tworzącego z funkcją

.    . , V6

snu kąt arccos ——.

*    2x

Rozwiązanie

a) Zgodnie z definicją normy mamy |/| = \/{f, f) dla / € C([0,2x]). Tutaj

2n

2 t 83 x dx = -x , 3

ur

Dwunasty tydzień - przykłady

rW«-»-***•'    •■'W

119

I l² dr = 2x. |x|² = J

0    o

2t |2sin z — 3cos z|² = J (4sin³ x — 12sin r cosr + 9cos² z) dx = 13x,

zatem normy kolejnych funkcji są równe y/2r, 2xi /    \/l3x.

V ³

b) Wszystkie wielomiany stałe są ortogonalne do funkcji sin z, bowiem

2*

(c. sin x) = I (c • sin z) dx = 0 dla c 6 R. o

Poszukajmy naszej funkcji wśród wielomianów stopnia 1 postaci ar + 6, gdzie a_tb € R, a ^ 0. Mamy

2*    2 n

(ar + 6, sin z) = £(az + 6) sin z dz = a J z sin z dz = -2xa, o    o

2n

|sin r|³ = f sin³ z dx = x o

2r

|az + 6|² = I (a²z³ + 2a*z + 6²) dx = |«V + 4a6x³ + 26²*.