132 133 (3)

132    Przestrzenie euklidesowwę

f) / = ł w przestrzeni lin {1 ,sin z, sin² x), gdzie 0 ^ x ^ tt, z iloczynem skalarnym określonym wzorem

(/. 9) = f f[x)g(z)dx. o

C Zadanie 13.5

Wyznaczyć bazy ortonorrnalne wskazanych przestrzeni euklidesowych i znaleźć współrzędne podanych wektorów w tych bazach:

a)    E= lin {(1,0,-1,0),(0,1,1,-1)}, u = (3,1,2,1) €

b)    E= lin {(1,1,1,1),(1,-1,1,1),(-1,1,1,-1)}, S=(-l,0,10,-1)S E^Ą,

c)    E = {(r.y.^.O 6 J?⁴ : r + y+2 = 0,y = «},u = (-1,3,-2,3) 6 E*\

d)

^c)

0

E = {(2x + y + 5z,y+ :,2y-x,r + 2z): x,y,z£ R}, u = (6, 4, 7,1) 6 i’⁴; E = R? i] z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem

(P. ?) = p(0)?(0) + p(l)?(l) + p{2}$(2),

p₀ = x² + x + 1;

E = R² z iloczynem skalarnym wektorów x = (xi,X2), y = (yi, S/2) określonym wzorem

(5, y) = [rj x₂]

21		3/1
11		^2.

5 = (32);

s’>

E = k2 <5 iloczynem skalarnym macierzy A, D zdefiniowanym wzorem [A,B) = Tr (v4Z?^T ), gdzie symbol Tr oznacza sumę wszystkich elementów

1    5

z głównej przekątnej macierzy, C =    -

O Zadanie* 13.6

Zortogor.alizować metodą macierzową podane wektory w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych

a)    (1, 1,3), (1,1,4), (1,2,0) w przestrzeni £³;

b)    (1,2,0,1), (4,1, 1,2) w przestrzeni 17⁴;

c)    (—1,1,0,0), (0,2, 1,1). (1,-3,1,-1) w przestrzeni E^Ą.

O Zadanie* 13.7

Stosując wyznacznikową metodę ortogon3lizacji uzupełnić wskazane wektory do baz ortogonalnych odpowiednich przestrzeni euklidesowych:

a)    (1, 1,4) w przestrzeni I³;

b)    (1,0,0), (0,0,1) w przestrzeni R^! z bazą ortonormalną {(1,0,0), (1,1 0),

(1,1,1)};

Trzynasty tydzień - zadania

c)    (1, l,3,1) w przestrzeni

d)    J - z -f z⁷ + 2z³ w przestrzeni i^jr] z bazą ortonormalną { l, z. x², z³};

c) ’2u — [\v + w w przestrzeni eukhdesowej 17 z bazą ortonormalną {5 v, te z, y) .

O Zadanie* 13 B

Uzasadnić, że wektory x\. z*, •z_n tworzą bazę ortonormalną przestrzeni Eⁿ wtedy i tylko wtedy, gdy macierz przejścia P z bazy standardowej do bazy tych wektorów spornia warunek P^TP = i Sprawdzić tę zależność dla baz ortoncrmal-nych 7. Przykładu 13.1 oraz z Zadania 13.1.

O Zadanie* 13.9

Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową z bazą ej, ?2»    _: ^n- Zdefiniować

w tej przestrzeni iloczyn skalarny tak, aby była to baza ortonormalną.

O Zadanie* 13.10

W podzbiorze /a = | * = (r_n) € R°° : ^ z* < ocJ przestrzeni liniowej jokreślamy funkcję (-,*): /₂ x /2—* /?. następującym wzorem

oo

(*, y) =

r»=l

a)    uzasadnić, że #2 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni IŁ⁰⁰

b)    wykazać, że funkcja ( •) jest iloczynem skalarnym w l₂\

c)    wykazać, że wektory c₁ = (1,0,0, . ). e₂ = (0. 1,0,. .), . tworzą układ orto-r.ormalny w l-₂,

d)    czy wektory e\ e₂ tworzą bazę przestrzeni liniowej /₂?

e)    wykazać nierówność

(£>-* \n = l

2

rł = l o ile dwa ostatnie szeregi są zbieżne;

f) podać przykłady wektorów z przestrzeni l₂ mających wszystkie składowe nie-zerowe i tworzących z wektorem

(łłł )

\ 2'4 ’ 8 *    )

n n Tc

Niy 2. 3. 4. -