118 119 (4)

¹¹⁸    Przestrzenie euklidesowo

^a)    (P. Q) = P(-l)d(-l) + P(2)?(2);

b)    (P,g) = p(0)ę(0) + p'(0)ę'(D);

1

^c)    (p <?) = J p(x)q{x)dz_t przy czym p, $ € JRi[«].

o

d*) Wskazać taki iloczyn skalarny w przestrzeni    dla którego podane dwa

wektory będą unormowane i ortogonalne.

Rozwiązanie

a) Mamy |p₀|² = 6² + (-6)² = 72, |q₀|² = (-3)² + O² = 9, zatem

IPol kol

n/72\/9

cos 4 (p_0> g₀) = iZBlfr), ₌ ft*lź (-6)0₌,vg

Podane wektory tworzą więc kąt — x.

b) Tutaj |p₀|² = 2² + (-4)* = 20, |<j₀|² = (-2)² + l² = 5, zatem

-_ł0fc^.St^Łi-4

W tym przypadku £ (p_c = arccos

c) Analogicznie

‘    i

lp»r = f(2-ufdz=i, |,₀|* = J(^r ~ 2)² di

0    o

l

4x)(r - 2) dz = --.

(Po. <7o) = j(2 -

Otrzymujemy więc zależność

>/f

14

_ 1

^cos $ (Po, «7o) = r-^Z r-

(-$)•

I ostatecznie $ (p₀, Q_c) = arccos

d*) Zauwaimy, żc wektory p₀. ę_c tworzą bazę przestrzeni liniowej £,[*]. Niech p, q będą dowolnymi wektorami z przestrzeni 7*,[r] o współrzędnych w bazie p₀, q_Q równych odpowiednio [on.orz].    Iloczyn skalarny (•,•), który chcemy określić ma spełniać

warunki (p₀, Po) = b ko, 3o) ⁼ ^ ^oraz (Po» •Jo) = 0- I31a wektorów p, q oznacza to, że (p. q) = (o_;p₃ + »2 7o.£iPo + folo)

= <*i£i (Po. Po) + *101 (Po, <7o) +    (q₀, p₀) + cr_a/3₂ (f₀, <7₀) = <*,& + o₂0₂.

Dwunasty tydzień - przykłady    119

Zauważmy, ze jest Lylko jeden iloczyn skalarny o podanej własności Konkretnie dla wielomianów p = az + b, q = aj z + bi, gdzie a, 6, aj, 61 € R, zachodzą 2wiązki

P = -^(2g + 6)p₀ ~    * 2b)q₀, q = - ^(²«i + *i)Po “ j(^fll + 2ti)<7₀»

zatem

(p, q) = “(^2a + 6) (^2ai + i>i) + —(« -ł- 26)(aj + 2&i).

3t>    y

• Przykład 12.5

W przestrzeni liniowej C([0,2t]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem

2t

(/,») = [ A^x)9(^x)^dx

a)    obliczyć normy funkcji 1, x, 2 sin x - 3cosx;

b)    podać przykład wielomianu możliwie najniższego stopnia tworzącego z funkcją

.    , , VS

snu kąt arccos ——.

2x

Rozwiązanie

a) Zgodnie z definicją normy mamy |/| = \/(/, f] dla / € C([0,2x]). Tutaj

nr

= f l² dx = 2x. |x|² = J x² dz = -n³,

2x

|2sin z — 3 cos r|² = J (4sin² z — 12sin rcosz + 9 cos² r) di = 13x,

zatem normy kolejnych funkcji są równe ir, 2x^/ —, \/l3x. b) Wszystkie wielomiany stałe są ortogonalne do funkcji sin r, bowiem

(c. sin

(c • sin z) dx = 0 dla c € R

Poszukajmy naszej funkcji wśród wielomianów stopnia 1 postaci ar + 6, gdzie a, 6 € R, a ^ 0. Mamy

2*    2n

(az-f 6, sin x) = j(az + 6) sin z dz = a j r sin z dz = — 2xa, o    o

2n

|sin z| = J sin z dz = x_: o

2r

|az + 6|² = | (aV + 2a6r + 6²) dz = |«V + 4a6x² + 26²x.