134 135 (3)

134

Przestrzenie euklidesowo

Odpowiedzi i wskazówki

13.1 a)

d)

231 / —

V 10 V 10

; e) [5,2,-I],

¹ i 5 _⁵

6’6'^_2

13.3    a) (2,1,3). (-1,5,-1); b) (1,0.0), (I.l.o) , (0.0.1);

c) 14.3,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,1); d) (0,1,1,0), (-2,-1,1,0), (1,-1,1,1); e) 1, i, !r| — —, sin r -4- 3(cos 1 — sin l)z

13.4    a) (1,-1,2), (1,1,0), (-1,1,1);

b)    (1.1,1,1), (3,-1,-1,-1), (0,2,-1,-1), (0,0,1,-1);

c)    (1,0. 1,1), (0, 11,-1), (-1, -1,1,0), (-1,1,0,1);

d)    (1,0.3,-2), (-1,0,1.!), (5,0,1,4), (0,1,0,0) e) (3,2.3,5), (7,-11.7,-4);

<•» i    ²    2    ^2r

i ) 1, sin z--, sin r —

3l>² - B)

sin r +

3 (jt² — 8)    2

(2 ’ 2 ’ 2'2)' C 2** 2* 2’ 2)*    [^4,6,5v<2];

13.5 a)

b)

^o-~V

^e)    \/^(^3lJ-^6l+1)' [^,,v^/i*⁶V^//T^,2V^/i

^f)    (-1^,75), |V2,vG];

[o......-

;_L o ¹ 1 10’ V 10’ V 10

l]. [1.5.2, -3).

13.6*a)(l,l,3),(^,=i,i-j,(-I.i.o)_;b)(l,2,0,l), (|.-|. 1.1); c) (-1,1.0,0)

13.7* Uzupełnieniem do bazy są wektory a) (1,-1,0), (4,4,-2); b) (2,2,1); c) (1,-1. 0,0), (3, 3,-2,0), (2, 2,6,-22); d) -1 - x, 1 - x - 2x². 4 - 4r 4-4x² - 6x³; e) —3u — 2v, 2u — 39 — 13 to, z, y.

13.9* Dla 5 = orj Bj + ... + a_nt_n, t* = fli Vi 4- .. + y?„ v_n, iloczyn skalarny ma postać («,») = *10, 4* ... 4* Qn$n-

13.10* d) nie; f) (i.    dla k,.a 1,    .). _gdlie a =

01    00

0 0*0 01 o

dla

Czternasty tydzień - przykłady    135

k*ta j, (a, a², o³,. .), gdzie a = ^ ^^‘ dla k(ta —, -i dla k%la x.

Czternasty tydzień

Rzut ortogonalny (4.6).

Przykłady

Przykład 14.1

Sprawdzić, żc podane wektory są ortogonalne do wskazanych podprzcstrzeni przestrzeni cuklidesowych

a) Eq = {(3x-y, r+2y+z,2r-z_I:r + 4z) ; x_ty,z € R) , v = (2.1, —3, — 1) € E^A;

b) Eq = lin {1, x². chx,sin² r

głych na przedziale |    —

, / = sin x w przestrzeni wszystkich funkcji cią-z iloczynem skalarnym określonym wzorem

f(x)g(z)dz.

Rozwiązanie

a) Wektor v 6 E jest ortogonalny do podprzcstrzeni Eq przestrzeni cuklidcsowcj E wiedy i tylko wtedy, gdy jest on ortogonalny do dowolnego wektora ti £ Eq. Niech u = (3i - y, r 4- 2y -f z, 2z — z, r -f 4r) € £c • Wówczas mamy

(ti, t>) = 2(3x - y) -t- x + 2y + z - 3(2i — z) — (x + 4z) = 0,

zatem v J_ u, czyli tź _L

b) Ortogonalność wektora do podprzestrzeni wynika z ortogonalnośd tego wektora do wektorów generujących tę podprzestrzeń, w szczególności do jej bazy. W naszym przykładzie wystarczy więc stwierdzić, że

ł r		ł r
(sin r, 1) = 1	sin z dx = 0,	(sin r. z^7) = / x^2
J -*	7 r	J ~ 7 ł r
(sin r, ch r) =	I sin x ch x dz =0,	(sin r,sin^2 x) = / J
	J t	!

Zerowanie się wszystkich całek wynika tu z nieparzystości funkcji podcałkowych.

Przykład 14.2

Znaleźć rzuty ortogonalne podanych wektorów na wskazane podprzestrzenie przestrzeni euklidesowych: