134 135 (3)

134

Przestrzenie euklidesowo

Odpowiedzi i wskazówki

13.1 a)

d)

V 10 V 10

; e> [5,2,-1],

13.3    a) (2,1,3), (-1,5,-1); b) (1,0.0), (1,1,o) , (0,0,1);

c) (4.3,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,1); d) (0,1,1,0), (-2,-1,1,0), (1,-1,1,1); e) 1, x, r| — sin r 4- 3(cos 1 — sin l)z

13.4    a) (1.-1,2), (1,1,0), (-1,1,1);

b)    (1,1,1,1), (3,-1,-1,-1), (0,2,-1,-1), (0,0,1,-1);

c)    11,0.1,1), (0,1,1,-1), (-1,-1,1,0), (-1,1,0,1);

d)    (1,0, 3,-2). (-1,0,1,1), (5,0,1,4), (0,1,0,0): e) (3,2,3,5), (7,-11 7,-4);

2    . .    2r    4    1

sin r +

b)

3 (r² — 8)    2

(2*2*2'2)'(~2*j’!• ^_D-    [⁴'^G-^5v^]^;

(V2 °^,_vł'°)

rr

10

*> i/ś' /i¹' - ’>■    “"⁺ ')■

^e) [»:]•[-] ("]■[:

».*.>(,(-1.1,,),b_>(1.₂...„.(f.-i.l.1.0)

“'■‘■'i (44|,-9.

13.7* Uzupełnieniem do bazy są wektory a) (1,-1,0), (4,4,-2); b) (2,2,1); c) (1,-1. 0,0), (3,3,-2_:0), (2, 2.6, -22); d) -1 -    1 - * - 2x², 4 - 4r i 4*² - 6i³;

e) -3u - 25, 25 - 39 - 13tć, z, y.

13.9 Dla u = o-j Sj + ... -f Q-_n 9_n, 9 = 5j + ... + /?„9_n, iloczyn skalarny ma postać (5, 9) = arfy + ... + or_nfl_n.

13.10* d) „_le; f) (1,    dl. kąta f,    _gdlie a =    _dli

3

Czternasty tydzień - przykłady    135 kąta (a,a², o³,. .), gdzie o = -^^^N “ dla kąta — i dla kąta t

Czternasty tydzień

Rzut ortogonalny (4.6).

Przykłady

• Przykład 14.1

Sprawdzić, że podane wektory są ortogonalne do wskazanych pod przestrzeń i przestrzeni cuklidesowych

a)    E_c = {(3z-y, r+2y+z, 2z-z, ar + 4z) : z, y, z 6 R) , v = (2.1, -3,-1) € E⁴:

b)    Eo — lin {l,x². chr,sin²z} , / = sin z w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [— —, ^ z iloczynem skalarnym określonym wzorem

(/.<7) =

dx.

Rozwiązanie

a) Wektor v £ F jest ortogonalny do pedprzestrzeni Fq przestrzeni cukłidcsowcj E wtedy i tylko wtedy, gdy jest on ortogonalny do dowolnego wektora u 6 Eq. Niech ti = (3x - y, r 4- 2y -I- z, 2x — z, z + 4 z) € Ec ■ Wówczas mamy

(ti, ti) = 2(3x - y) + z + 2y + z - 3(2x - z) — (z + 4z) = 0,

zatem v — u, czyli v _L

b) Ortogonalność wektora do podprzestrzeni wynika z ortogonalnośd tego wektora do wektorów generujących tę podprzestrzeń, w szczególności do jej ba2y. W naszym przykładzie wystarczy więc stwierdzić, że

	ł r		7 r
(sin z, 1) =	1	sin z dx — 0,	(sin z, z^2) = / x^7
	J -f	7 r	J f f r
(sin r, ch z)	1 =	1 sin z ch x dx =0,	(sin z.sin^2 z) = / J
		J	!

Zerowanie się wszystkich całek wynika tu z nieparzystości funkcji podcałkowych.

• Przykład 14.2

Znaleźć rzuty ortogonalne podanych wektorów na wskazane podprzestrzenie przestrzeni euklidesowych: