122 123 (3)

122

Przestrzenie euklidcsowe

sowcj    z podanymi iloczynami skalarnymi:

^a)    (p, 9) = p(l)ę(l) + p(2)g(2) + p(3)g(3);

b)    (p, 9) = p(0)g(0) + p'(0)g'(0) + p"(0)g"(0);

1

^c)    (p. 9) ⁼ f p{x)q(x)dx dla p, q € fljfsr].

o

d*) Wskazać taki iloczyn skalarny w przestrzeni ^[i], dla którego wektory p_0l q_c będą ortogonalne i unormowane.

O Zadanie 12.5

W przestrzeni liniowej R[x] z iloczynem skalarnym określonym wzorem

(P> 9) = J p{z)q(x)dz

o

a)    obliczyć (x², — l). |x + 1| oraz cosinus kąta między wektorami x r 1, z - 1;

b)    podać przykład wielomianu możliwie najniższego stopnia ortogonalnego do każdego z wielomianów z — 1, r²;

c)    dobrać stałą a tak, aby wielomiany 3x² + az - 1 oraz 2x² + 6x - 1 były ortogonalne.

O Zadanie* 12.6

Stosując nierówność Schwarza w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych uzasadnić, że zachodzą nierówności

a) (a& + bc — ac)² ^ (a² -f 6² + c²)² dla dowolnych a, b, c £ R

b) (x* + z\ + ... 4- x„) ^ -f x; + ... -f x²) (xj -f z\ -ł-... + xj) dla dowolnych x 1, xj,----x_n 6 R

^c) j/(^r)$ ^y /*w*j $    /"( x)dx^ ^ ... dla dowolnej funkcji ciągłej f R —> R

Odpowiedzi i wskazówki

12.2    a) (x,y) ^ (y, x) np. dla x = (1.2), y = (1,0); b) (5, y) ^ (y,x) np dla x = (1,2,0), y = (1,0,0), (i, z) < 0 np dla z = (0.1.-2), (i u) = 0 np dla u = (1,0, -1) ^ O; c) (p, p) < 0 np. dla p = x, (g, 9) = 0 np. dla 9 = 1; d) (p, p) = 0 np. dla p = (x-r_:)(r-x₂)...(r-x_a); e) (/, + f₇, g) * (/,. 9) + (/*, 9) np. dla /1 = 9= -U ~ 1. (»/.*) Ź o(/_: fc) np dla /= h = 1, a = -1; f) (/, g) ^ (g,/) _np dla /= z³, g = 1, (/», &) < 0 np. dla k = 2z⁷ - 1.

12.3    a) \/T5; b) brak ortogonalności; c) arccos d) lin {(1,0,2,-2), (0,1,3,-1)),

Trzynasty tydzień - przykłady

:6Brer

123

/2 _A 4    4\ I    l    I /5    l

¹⁰ “ \3'° 3’    3/    ' ^€ y    2’    4' V

12.4 a) arccosy^; b) arccos    j ; c) arccos(-j^); d*) iloczyn skalarny o

żądanej własności może mieć postać (p, g) = aai + —(fc—c) (&i — c-.)+ -(2&+c)(2fc| 4* ci) dla p = ar³ + bz + c g = aiz⁷ + b.z + c\.

61

60

; b) 50i² - 52x + 9; c)

Trzynasty tydzień

Ortogonalność wektorów (4.3). Bazy ortogonalne (4.4). Inne metody i ortogonalizacji* (4.5).

Przykłady

• Przykład 13.1

Sprawdzić, że podane układy wektorów są bazami ortogonaJnymi lub ortonor-malnymi odpowiednich przestrzeni liniowych i znaleźć współrzędne wskazanych wektorów w tych bazach:

a) vi =(2,-4), t?₂ = (6.3), u = (1,2) E E²\

fi, fi

b) 5. = (v2'⁰"V2

_    / fT n fi\ „    / fi „ fi fT\

' °^{2 _} (V3 ’ V 3 ’ V 3 J ’ °³ “    6’    6’ V 6 J ’

fi fi,

3 ’ V 3 ’ ¹³

u = (0,1.0) 6 £³;

c) Pj = 2, p₂ = z + x², p₃ = r + ‘2x², p₄ = 3x³, q = r² - x + 1 w przestrzeni i?3[x) z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem (ax³ + ta² + cx + d, a^z³ + 6]X² + C\x -t- d\) =

aa\ -r (ł> - c)(fci - ej) + (2c - 6)(2ci - &i) +dd_v.

Rozwiązanie

Wektory v_:,    , t»_n są bazą ortogonalną przestrzeni euldidesowej E wymiaru n, jeżeli

(5«, »,) ^ 0 oraz (£,, v_}) = 0 dla i_tj = 1,2... , n, i ^ j. Jeżeli dodatkowo |t;,| = 1 dla i = 1,2,... ,n, to jest to baza ortonortnaina. Dowolny wektor u € E ma w bazie ortogonalnej przedstawienie

(«. *i)-

I

, (*. *n) -

r*_n,

|V„| zaś w bazie ortonormalnej

u = (fi. V|) v_x + .. +(u_tiin)5_n.