122 123 (3)

122    Przestrzenie euklidesowo

sowcj itjjz] z podanymi iloczynami skalarnymi:

a)    (p, g) = p(l)g(l) + p(2)g(2) + p(3)g(3);

b)    (p, g) = p(0)g(0) + p'(0)g'(0) + p"(0)g"(0);

i

c)    (p, g) = ^ p(x)q(z)dx dla p, g € fljfar].

o

d*) Wskazać taki iloczyn skaJarny w przestrzeni    dla którego wektory p_0l

będą ortogonalne i unormowane.

O Zadanie 12.5

W przestrzeni liniowej R[x\ z iloczynem skalarnym określonym wzorem

i

(P. ?) = f P(z)q(z)dz :

0

a)    obliczyć (z², — l). |z + 1| oraz cosinus kąta między wektorami x r 1, z - l;

b)    podać przykład wielomianu możliwie najniższego stopnia ortogonalnego do każdego z wielomianów z — 1, r²

c)    dobrać stałą a tak, aby wielomiany 3z² -f az - 1 oraz 2z² + 6z — 1 były ortogonalne.

O Zadanie* 12.6

Stosując nierówność Schwarza w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych uzasadnić, że zachodzą nierówności

a)    (c6 -f bc — ac)² ^ (a² -f b² + c²)² dla dowolnych a,b,c £ R

b)    (xf -f x\ + ... + x\)² ^ (x² +    + - • • + (xj + x\ + ... + xj) dla dowol

nych x\,x_7t. . .z„ e R

c)    j f(x)dx ^ ^ /²(z)dzj ^ ^ J f^A{x)dz^j ^ ... dla dowolnej funkcji ciągłej f R—*• R

Odpowiedzi i wskazówki

12.2    a) (x, y) ^ (i,x) np. dla x = (1,2),    y =    (1,0); b)    (z,    y)    ^ (y, z) np    dla

x = (1,2,0), y = (1,0,0), (i, i) < 0 np dla    z =    (0,1,—2),    (u    i)    = 0 np dla 5 =

(1.0, —1) ^ 0; c) (p, p) < 0 np. dla p = z, (<7, g) = 0 np. dla g = 1; d) (p, p) = 0 np. dla p = (x-z;)(z-z₂) . .(x-z_n); e)    (/, + f₂, 9) ć    +    (f₂>9) *P-    dla

f\ = 9 = -/₂ = 1, (a/, Ji) ^ a (/_; fc) np dla /    = h    = 1, a =    -1;    f)    (/, 9) ^ (g,f)    np

dla /= z³, g = 1, (h, h) < 0 np. dla k = 2z⁷ - 1.

12.3    a) v/l5; b) brak ortogonalności; c) arccos —; d) lin {(1,0, 2,-2), (0,1,3,-1)),

Trzynasty tydzień - przykłady

(2 _A 4    4\    / I    I f5 1 \

^Z° ” \3’°’ 3* 3 / ’ ^€ y 2’ 4'V«’4 J

12.4    a) arccosy^^; b) arccos^-^^; c) arccos(-y^; d*) iloczyn skalarny o

żądanej własności może mieć postać (p, g) = aai + -(6 — c)(6j — C:)+-(26+c) (26| + ej) dla p = ar³ +6z + c g = air² + b_: z + ci.

12.5    a) -1, y j,    b) 50i² - 52x + 9; c) -gj.

Trzynasty tydzień

Ortogonalność wektorów (4.3). Bazy ortogonalne (4.4). Inne metody ortogonalizacji* (4.5).

Przykłady

• Przykład 13.1

Sprawdzić, że podane układy wektorów s+ bazami ortogonalnymi lub ortonor-malnymi odpowiednich przestrzeni liniowych i znaleźć współrzędne wskazanych wektorów w tych bazach:

V ' > ' ~ c k ^w ' ~ 1    \ f ^ — i

( fi „    /T\    ( fi fi fi\ - (fi „fi fi

⁼    2'^_V 2J' ^{e2 =} \\'2’\/z’n)- ^{V3 =} {\'6’-⁷\/6’\6

a)    vi =(2,-4), V2 = (6,3), u = (l 2) eF²;

b)    vj    ^

“ = (0,10) 6 £³;

c) pj = 2, p₂ = z + z², p₃ = z + 2x², p,} = 3x³, q = x² — i + 1 w przestrzeni i?3[x] z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem (ax³ + bz² + cx + d, a_:z³ + 6]X² + C\x + d\) =

aai + (6 - c)(6j - ci) + (2c - 6)(2ci - 6j) + dd

Rozwiązanie

Wektory V], .... ó_n są bazą ortogonalną przestrzeni euldidesowej E wymiaru n, jeżeli

(v«,».) ^ 0 oraz (»,, v_}) = 0 dla i,j = 1,2----,n, i £ j. Jeżeli dodatkowo |t3,| = 1

dla i = 1,2,... ,n, to jest to baza ortonortnalna. Dowolny wektor u € E ma w bazie ortogonalnej przedstawienie

(». »i)

fi

. («.«»)*

+ I,-, I*'*"’

| V„| zaś w bazie ortonormalnej

u = (fi. vj) fi, + ..    + (u_tfi_n)fin.