14892 Strona
4

Otrzymane wyniki (7) i (10) wstawiamy z kolei do (4). Otrzymujemy:

{ $ x² dydz + y² dz dx + z² dx dy + nh* = ^ A⁴.

Stąd ostatecznie:

J = \\x²dydz + y² dz dx -f- z²dxdy = —i-ttA⁴.

. Zadanie 3.4. Obliczyć strumień wektora:

0)    W = xi +^j -f z³k _v

przez powierzchnię S:

(2)    '    Sm ł **+/**'-.

■    ■    [y=2

£. • : j .    _ * _t

t , zorientowaną tak, te wektor normalny do powierzchni S ma zwrot zgodny ze zwrotem osi Oy (rys. 17.12).

i j. i _ i

Rozwiązanie. Zgodnie z wzorem (3.3) strumień wektora (1) przez powierzchnię S określony jest całką postaci:

(3)

/ = J $ (x cos a + y cos fi + z² cos y) dS.

Uwzględniając w (3), że cos a = cos y = 0, mamy:

(4)    J — J j y cos P dS — J $ y dz dx.

S    s    ,

W naszym zadaniu funkcja:

(⁵)    Q(x,y,z) = y

określona'jest na piacie regularnym t^pu* (2.1") zorientowanym dodatnio. Wobec tego całkę (4) zamieniamy na zwykłą całkę podwójną według wzoru (2.6"), uwzględniając przy tym (2) i (5). Otrzymujemy:    »

/ = J $ y dzdx = J J 2 dzdx = 2R²k. '

Zadanie 3.5.,Obliczyć strumień wektora pola:

(1)    W = .x i —y⁵ j + (x^J -r a^: — 1) k

przez powierzchnię S o równaniu:

skierowaną na zewnątrz.    ¹

Rozwiązanie. Zgodnie z wzorem (3.3) strumień wektora pola W przez zorientowaną powierzchnię S określony jest całką:

(3)    / = J $ x dy di — y²dz dx + (x² + z¹ — l) dx dy.

Do całki (3) stosujemy wzór Gaussa-Ostrogradskiego. Mamy:

(4)    J = J $ x dy di — y²dz dx -)- (x³ + z² — 1) dx dy = J $ $ (1 — 2y + 2z) dx dy dz,

s    v

gdzie obszar V określony jest nierównością następującą:

X*    V²    2²

(5)    I'= — + ~r_r + ~<l.    '    ■

a²    b¹    c¹

W celu obliczenia całki potrójnej w (4) wprowadzamy uogólnione współrzędne sferyczne wzorami:    ^

(6)    x — ar cos ę> cos 9, y — br sin p cos 9,

Jakobian przekształcenia (6) wynosi:

a cos p cos 0 —ar sin p cos 0 —ar cos p sin 0 ósinpcosO órcospcos0 — br sin psin 0

i = cr sin 0.

(7)

9 (v, y. ?)

D (r, <?. 9)

= abcr²cos 0.

c sin 0    0    cr cos 0

Dla obszaru V określonego nierównością (5) współrzędne r, ę>, 0 spełniają nierówności:

(8)

0<Sr«l

0<p<2ir

.JLrr<0^ ⁿ.

9    9

Wykonujemy teraz zamianę zmiennych w całce potrójnej (4), uwzględniając przy tym (6), (7) i (S). Otrzymujemy:

(9)    iJJ(l —2y + 2z)dxdydz =

I — Ćwiczenia z analizy

113