19772 MATEMATYKA030

52 I Wiadomość) wstępne

Zatem

(limp_n = p„)o AV A />(p ,p_#)<e.

b-w'    oo k n>K

Stąd, dla ciągu (x_n) o wyrazach rzeczywistych mamy (limx„ = x₀)«AV Alx.-K.He, gdyż /ż(x„,x₍,)=|x„-x„|.

Podobnie, dla ciągu (z_n) o wyrazach zespolonych otrzymujemy

(hmz^zJoAy A |*,-zj<8,

gdyż ż’(z,.Zo)=|z„-Zol'

Natomiast dla ciągu (p„), gdy p„ = (x_n,y„) G R², neN i Po = (^xn.Yo)^6RJmam>' _____________

P(Po.Po) = V(^xn - ^xo)^! + (Y„ - Yo f . zatem    _

(limp„ = p₀)«AY A^/(x_n-^x!))²+(y_n-y„)² <£

Niżej podajemy twierdzenie o granicy ciągu o wyrazach z przestrzeni R^:, które natychmiast można przenieść na ciągi zespolone, a także łatwo uogólnić na ciągi o wyrazach należących do Rⁿ Twierdzenie to pozwala problem wyznaczania granic takich ciągów sprowadzić do obliczania granic odpowiednich ciągów rzeczywistych

TWIERDZENIE. Załóżmy, żc P„ = (x„,y„) e R², neN, i

Po = (^xo-Yo)^eR; Wówczas

(limp_n = p₀) o (lim x = x₀ a limy„ = y₀),

U •«    B HO    n-*W

To samo twierdzenie dla ciągu (z_n) o wyrazach zespolonych, można sformułować jak następuje:

(lim z_ = Ł>) o (lim rez„ = rezj, a lim imz_n = tmzu).

n »«o    n *•*>    n-*«>

PRZYKŁAD 4.3 Obliczymy granice ciągów:

3-n 1

3 n

gdyż lim (~—) = ~ 1 oraz lim —= 0. n *k> 2 + n    n*

b)    lim(l + 2'ⁿ, 2 + 3"ⁿ) = (1,-2),

n-*®

gdyż lim(1 + 2 ") - I, lim(-2+ 3 ") = -2.

n-*«o    n ><*>

v i■ /1 “n 2n 1 3 n /no i ^

c)    lim(—r-,    - _T) = (0,2,-l),

gdyż lim(i-~) = O, lim(——-) = 2, lim(^—^-) =-1.

_dMim(2ni-l)^jO,_lim2jnl^ ₌ n-*«®    3 + n    •>-♦*    3 + n*

= lim(

-) = 0 + 2i =2i.

-3n    . 2n²-1

+1

3 + n'

GRANICA FUNKCJI. Załóżmy, że dana jest funkcja f.D -* Y, przy czym D c X, a X i Y są przestrzeniami metrycznymi. Załóżmy, że dziedzina D funkcji f zawiera sąsiedztwo S(p₀) punktu p₀ (punkt p₀ nic musi do zbioru D należeć). Niech g e Y

DEFINICJA HEINEGO. Mówimy, źc funkcja f ma w punkcie p₀ granicę g , gdy dla dowolnego ciągu (p_n) o wyrazach należących do sąsiedztwa S(p₀) i zbieżnego do p₀ , ciąg (f(p_n)) ^ma granicę równą g, czyi i

def

(lim f(p)=g)oA((p„ €S(p₀),n€N Alimp_n = Po)=>(li»Til'(p„) = g))

p-*p₀    (p_n>    " »^w    "

Poniżej podajemy inną definicję granicy funkcji - definicję Cauchy'cgo Wykazuje się, że definicje te są równoważne.

DEFINICJA CAUCHY EGO

(lim f(p) = g) o A V A(0<p(p,p₀)<5=* /?(f(p),g)<e).

p-+p_n    *>0    6 p«D