25509 Obraz6 (115)

c) W klasie bardzo słabych uczniów, w nauczaniu których trzeba było stosować specjalne zabiegi dydaktyczne, nauczyciel wprowadza pojęcie granicy ciągu.¹⁶

W przyjętym układzie materiału definiuje się najpierw wyrażenie lim a„ = 0, następnie zaś lim a„ = a przez lim (a„ - a) - 0. Rysunek na tablicy ilustruje prostą skalibrowaną w systemie dwójkowym. Rozważa się

ciąg n —> a„ = (-1)" • —. Nauczyciel poleca jednemu uczniowi rachować 1, 2"

2, 3, ..., drugiemu zaś wskazywać palcem pozycję skaczącego pajaca, który' na rozkaz „n” zajmuje pozycję „a,” w prostej liczbowej zilustrowanej na rysunku. Z dwóch stron punktu 0 stawia się „płotki” oddalone od tego

punktu o —. Czv nastąpi taki rozkaz, od którego począwszy pajac będzie 2

skakał między płotkami? Od jakiego rozkazu począwszy tak będzie⁰

Zmniejsza się odległość płotków od 0 do —. Następuje podobne pytanie

7

i odpowiedź uczniów. Nauczyciel proponuje analogiczne zadanie, gdy odległość „płotków” od zera jest równa —. Konkretna ilustracja na rysunku

100

staje się niemożliwa. Doświadczenie kontynuuje się w myśli. Uczniowie 1111 11

liczą:    —, — (pajac ciągle jest na zewnątrz „płot-

2    4    8    16    32    64

1

ków”), - (pajac wpadł między płotki i już z nich nie wyjdzie). Od roz-

128

kazu „7” począwszy, pajac będzie skakał między płotkami oddalonymi od 1

zera o -. Nauczyciel proponuje dalej rozwiązać zadanie w przypadku

odległości „płotków” od zera równej —-«r . Tu byłoby już trudno stosow-ać

10

metodę kolejnych obliczeń. Uczniowie samodzielnie sprowadzają zadanie

^lń Sam pomysł pochodzi od prof. O. Nikodyma, matematyka i dydaktyka polskiego. Wielokrotnie był weryfikowany w praktyce w klasach słabych, z bardzo dobrymi rezultatami.

Od „rozkazu 167” począwszy, pajac skacze między „płotkami” oddalonymi 1

od punktu zero o —.

Kr

Nauczyciel sugeruje uczniom ogólnie sformułować zadanie w Języku matematyki”, gdy odległość „płotka” od punktu zero jest równa s i również rozwiązać je matematycznie. Uczniowie bez trudu dokonują przekładu: dana jest liczba e > 0 (odległość „płotka” od punktu zero); czy można dobrać taką liczbę naturalną n (rozkaz „n”), że dla każdej liczby naturalnej m >n (od rozkazu „n” począwszy) jest:

- s < a_m < c

(pajac skacze między „płotkami”)?

Uczniowie poszukują odpowiedzi; rozwiązując nierówność

formułują odpowiedź: jeżeli e > 1, wystarczy wybrać n = 1, jeżeli 0 < e < 1, wystarczy wybrać:

n = C

-log £ log 2

Dla każdej liczby dodatniej e można więc dobrać taką liczbę naturalnąn, że dla dowolnej liczby naturalnej m >n, jest

-£< a,„ < £

Nauczyciel, sugerując powrót do historii skaczącego pajaca, proponuje rozwiązać podobne zadanie dla ciągu:

n->b„ = (— l)' *—7-y P\N

gdzie p(n) oznacza największy dzielnik liczby n, który nie jest liczbą złożoną. Uczniowie, opisując kolejne „pozycje pajaca”:

ii ii__LJ___l i .i i

’ 2 ’ ~ 3 ’ 2 ’    5 ’ 3 ’ ” 7 ’ 2 ’ ~ 3 ’ 5 ’ ~ II ’ 3 ’    13 ’ 7 *    5 ’ 2

zauważają, że jakikolwiek wydadzą rozkaz, to zawsze nastąpi „po nim roz-

1 1

kaz”, przy którym pajac zajmie pozycję — lub (dla każdego n będące-

239