23050 Obraz
1 (88)

Zrozumieliśmy w końcu, że trójwymiarowa przestrzeń wypełniona gazem jest przestrzenią odwrotności liczb. Jej porządek określają odwrotności liczb pierwszych, geometrycznie zaś jest ona odwrotnością nieskończonej, „pustej” przestrzeni czterowymiarowej, której uporządkowanie wiąże się z rozkładem liczb pierwszych w krzyżu liczb pierwszych.

Rozdział XVI

Poszukiwanie geometrii < >i >wi« iim >•,< i

Liczby w trójkącie Pascala można przedstawić równit / jaku )•••!• gi dwumianu (a + b)ⁿ. Niemal każdy z nas pamięta niejasno loimulę kin rej na pamięć wyuczył się w szkole: „a plus b do kwadralu ihwii.i i. a kwadrat plus 2ab plus b kwadrat”. Formuła ta pojawia się '\ 11/• ■ im wierszu na il. 14:

(a + b)° = 1 (a + b)¹ = la + lb (a + b)² = la² + 2ab + lb² (a + b)³ = la³ + 3a²b + 3ab² + lb³ (a + b)⁴ = la⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + lb⁴ Ilustracja 14

Współczynniki dwumianowe mają tę ciekawą właściwość, że nie trzeba ich wcale wymnażać w pokazany wyżej, skomplikowany sposób. Można otrzymać je prościej przez dodawanie (patrz również il. 13, s. 167). Tak więc z dodania dwóch jedynek drugiego wiersza uzyskujemy znajdującą się poniżej dwójkę. Jedynka i dwójka tego rzędu dają z ko lei trójki czwartego wiersza, po ich dodaniu zaś otrzymujemy liczbę (< w wierszu piątym. Ten porządek stanie się rzeczywiście tajemniczy, In T zauważymy, że wszystkie liczby ósmego wiersza, poza skrajnymi |e.lvn kami, są podzielne przez drugi współczynnik, liczbę pierwszą /

1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, I

Obowiązuje tu zatem następująca reguła: jeśli wykładniku m dwu mianu jest liczba pierwsza, wszystkie współczynniki opon z |< dno ,, i i podzielne przez tę liczbę.

*

Z niezwykłym zdumieniem zauważyliśmy, że w traku. p.>• miIow ... udało nam się odkryć nie tylko ogólną współzależność między ...Iwiot ilościami liczb i logarytmem naturalnym, lecz również i<>    .|..i\. \ .....

tylko odwrotności liczb pierwszych!

Trójkąt Pascala, wyjaśniający matematycznie komblmiloiykę lubili s Galtona, został przez Pascala jedynie odkryty na nowo /miny był |ill bowiem wiele stuleci wcześniej w opanowanej przez Ambnw I Ib-p.inii Dzisiaj matematycy traktują go jedynie jako inteiesu|i|i ą ■ li k..w.mikę,