33866 skanuj0013 (229)

4.3. Ciągi funkcyjne 75

Porównując warunki (4.11) i (4.12), otrzymamy następujące

Twierdzenie 4.63. Niech będzie dany ciąg funkcyjny (f_n)%L\, fn - D —» IR, Dcl oraz funkcja f: D —> M. Jeśli ciąg funkcyjny f_n jest zbieżny jednostajnie do funkcji f, to ciąg ten jest również zbieżny punktowo do funkcji f.

Przykład 4.64. Rozważmy ciąg (/„)£°₌₁₁ f_n: [0,7r] -» IR, f_n(x) = ^ sinnx. Przy ustalonym x G [0,7r) ciąg f_n(x) = sin rur —» 0 z twierdzenia o trzech ciągach. Zatem ciąg (f_n)ffLi jest zbieżny punktowo do funkcji stałej równej

0    (f_n —> 0). Pokażemy, że jest to zbieżność jednostajna. Ustalmy e > 0. Wtedy, jeżeli weźmiemy M — to dla n > M = 4= oraz x G [0,7r] otrzymamy

nierówność | sin nx — 01 ^    < e. Zatem warunek (4.12) jest spełniony.

Przykład 4.65. W przykładzie 4.61 pokazaliśmy, że ciąg funkcyjny

fn- [Oj 1] -* fn(x) = Xⁿ

jest zbieżny punktowo do funkcji /: [0,1] —» IR, f(x) = 0 dla x G [0,1)

1    /(1) = 1. Udowodnimy, że nie jest to zbieżność jednostajna, tzn. że

3_£>o r 3_n>M 3_xe[_0;i] |f_n(x) - f{x)| ^ e.

Niech £ = ^ i weźmy dowolne M. Z własności funkcji wykładniczej g(t) = (4)⁴

wiemy, że (^ < 1 dla t > 0. Dla dowolnego n > M mamy (^) ⁿ < 1. Zatem z własności zbioru liczb rzeczywistych (twierdzenie 3.21) znajdziemy x takie,

że ();)ⁿ < x < 1, czyli e = 4 < xⁿ < \xⁿ — 0| = |/_n(xc) — /(.t)|, co kończy dowód.

4.4. Szeregi funkcyjne

Mając dany ciąg funkcji (f_n)%Li, fn - D —* IR, możemy rozważać szereg funkcyj-00

ⁿY E fn- Analogicznie, jak w przypadku szeregów liczbowych, konstruujemy

n=l

ciąg sum częściowych:

N

S_N : D -> IR, Sm(x) = f\(x) 4-----f /at(x) = f_n(x).

n= 1 oo

Definicja 4.66.    (1) Szereg E) f_n nazywamy zbieżnym punktowo w D, jeśli

n=l

N

ciąg jS/v = E fn j^est zbieżny punktowo, tzn. dla każdego x G D ciąg

n=l

N

Sn(x) = E fn(jf) jest zbieżny.

n=l