39127 skanuj0015 (214)

Iział 4- Ciągi i szeregi	44- Szeregi funkcyjne 77
N jeśli ciąg SN = E fn n—1	oo Twierdzenie 4.69. Jeśli szereg E ^anXq jest zbieżny dla pewnego xq G IR, n=0 oc
iych możemy stosować )dane dalej kryterium	zo 7^ 0, to szereg E ^anX^n jesi zbieżny bezwzględnie dla x G (—| rro |, |xo|) oraz n—0 jednostajnie zbieżny w przedziale [—c, c] dla 0 < c < |xo|- oo Dowód. Warunek konieczny zbieżności szeregu E ^an^xo ^mówi o tym, że n=0
hech będzie dany eiąg x)\ ^ an dla n G N, jest zbieżny jednostaj-	anX(j -> 0. Ponieważ każdy ciąg zbieżny jest ograniczony, zatem istnieje M takie, że |anXo | < M. Zatem dla każdego n G N mamy: ■ |a„x»|<|anxS||^r<M|^|^n
'. Wtedy |sinf2| ^ i ^00 E —gir jest zbieżny n=l	OO n Szereg E M ^ jest szeregiem geometrycznym. Zatem jest on zbieżny, je- n= 1 śli |x| < |xo|. Korzystając z kryterium porównawczego zauważamy, że szereg 00 E anx^n jest bezwzględnie zbieżny dla x G ( — |.-ro|, |#o|). Jeżeli x G [—c, c] dla n=0 pewnego 0 < c < aro, to zachodzi nierówność \anx^n\ ^ M • Szereg licz-
wych, tzn. o szeregach	oc / \ n bowy Y,^M{\gg\) j^est zbieżny, wobec tego z kryterium Weierstrassa wynika, n-0 ' ' 00 że szereg E ^anX^n jest zbieżny jednostajnie. □ n=0
ila których x G IR szepcie szereg (4.14) jest	Twierdzenie 4.69 mówi więc, że szereg potęgowy zawsze jest zbieżny w pewnym przedziale o środku w 0. Wyjątkiem jest oczywiście przypadek, gdy szereg jest zbieżny tylko dla x = 0. Wtedy przedział redukuje się do jednego punktu {0}. Naturalne jest zatem pytanie o maksymalny przedział zbieżności.
wielomiany, czyli funk-)Otęgowy to naturalne )iszemy sumę nieskoń-	oc Definicja 4.70. Jeśli mamy dany szereg potęgowy E ^anX^n. to możemy roz- n—0 oo ważać zbiór 71 = {p G IR+ : E ^an%^n jest zbieżny dla x G (—p, p)}. Jeśli zbiór n—0
zn. o zbiór x G IR, dla	ten jest ograniczony i niepusty, to r = sup 7Z nazywamy promieniem zbieżności tego szeregu. Innymi słowy, promieniem zbieżności szeregu potęgowego
:o pytanie o dziedzinę pbaczymy w kolejnych pgów potęgowych, np.	00 E anx^n nazywamy taką liczbę r > 0, że szereg ten jest zbieżny dla x G (—r, r), n=0 a rozbieżny dla x G (—oo, —r) U (r, +oc). Jeśli zbiór 7Z jest nieograniczony, co oc oznacza, że szereg E ^anX^n jest zbieżny dla x G IR, to przyjmujemy, że promień n=0
rac z leorii funkcji anali-liczkowej: pierwszy skon-l punkcie.	oo zbieżności r — +oo. Jeśli natomiast zbiór 7Z jest pusty, tzn. szereg E anx^n n=0 jest zbieżny tylko dla x — 0, to przyjmujemy r = 0.