39149 stat PageV resize

56 3.7 Analiza regresji

3.7.6 Notacja macierzowa. Wielowymiarowy rozkład losowy

Notacja macierzowa jest bardzo przydatna, gdy rozpatrujemy wielowymiarowe zmienne losowe. Takie wielowymiarowe zmienne losowe będziemy przedstawiać w postaci wektorów-kolumn, np.

Z

(3.168)

łożona z k ..Doiedvnczvch”

gdzie Z jest zmienną losową (wektorem)

Z\_y..., Zk- Dla takiej zmiennej losowej - wektora, mamy EZ = (BZi,..., EZk)^T, czyli jego wartość oczekiwana jest wektorem poszczególnych wartości oczekiwanych. Znak T oznacza transpozycję wektora.

Macierzą kowariancji (zwaną czasami również macierzą wariancji-kowariancji) zmiennej Z jest macierz

(VarZi Cov{Z_uZ₂) $ov(Z₂,Z_l) VarZ₂

('ov(Zk, Z\) Cov(Zk, Z2)

Cov(Z_uZk)\ r Cov(Z₂,Z*) •    ₍₃₁₆₉₎

Var Zk

czyli macierz, która na głównej przekątnej ma wariancje dla poszczególnych zmiennych losowych Z\, Z_2ł..., Zk, zaś poza nią są wszystkie możliwe kowariancje par „składowych” zmiennych losowych. Zachodzi przy tym

(3.170)

VAR Z = E(Z — E Z)(Z - E Z)⁷

jest to więc „uogólnienie” wzoru na wariancję dla jednowymiarowej zmiennej losowej na większą liczbę wymiarów. Macierz kowariancji musi być macierzą symetryczną (z symetrii samej kowariancji).

Wielowymiarowy rozkład normalny Z posiada gęstość daną wzorem

fz(t) = ^r^detw-¹®^ [-i(₍ - „)^TW-■(* - /<)] ,    (3.171)

gdzie W jest macierzą symetryczną, dodatnio określoną o wymiarach kxk, zaś p jest wektorem k-wymiarowym. Przy tak zdefiniowanej gęstości mamy E Z = p oraz VAR Z = W. Zgodnie z ogólna konwencją będziemy zatem pisać Z ~ N(p, W).

Zauważmy, że jeśli Z ~ N(p_}<rH), gdzie II jest macierzą jednostkową, to kowariancja pomiędzy poszczególnymi zmiennymi równa się zero. Dodatkowo, z pewnych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, jeśli zmienna Z pochodzi z rozkładu normalnego, to w takim przypadku poszczególne składowe Z\, Z₂, ...,Zk są od siebie dodatkowo niezależne. Należy jednak pamiętać, iż rozumowanie tar kie nie jest to prawdą, gdy Z pochodzi z innego rozkładu niż normalny.

3.7.7 Regresja wieloraka

W tym modelu analizy regresji zakładać będziemy, że jedna zmienna zależna Y może zależeć od wielu deterministycznych zmiennych niezależnych oznaczanych przez x,\_yx.2,... ,x._p.