28828 stat PageX resize

58

3.7 Analiza regresji

gdzie b = (i>o,...,b_p)^T.

Dla takich estymatorów prawdziwa jest uogólniona wersja twierdzenia 3.44.

Twierdzenie 3.49 (Twierdzenie Gaussa-Markowa). Przyjmijmy założenie: (N2’) Niech e będzie wektorem losowym o wartości oczekiwanej zero (czyli Eć =0) i macierzy kowariancji danej macierzą a²II (czyli VARc = o²I).

Przy założeniu (N2’j estymatory MNK dane wzorem (3.178) są nieobcią-żone, a ponadto mają minimalną wariancję spośród wszystkich nieobciążonych estymatorów liniowych dla b (tzn. estymatorów postaci c^TY dla pewnego wektora stałych c, czyli takiego, który możemy przedstawić za pomocą pewnej funkcji liniowej).

Wykorzystując notację macierzową możemy w prosty sposób uogólnić inne wyniki uzyskane dla modelu regresji z pojedynczą zmienną niezależną x. Predykcję zapisać możemy w postaci

Y = Xb    (3.179)

dla pewnej ustalonej macierzy obserwacji X. Prawdziwą jest podstawowa tożsamość analizy wariancji

SST = SSR + SSE ,    (3.180)

gdzie odpowiednio

SST = (Y - Yl)^T (Y - Yl) r, SSR = (y - Yl) ^T (y - Yl) ,

l    SSE = (Y- t)^T (y-£) ,    (3.181)

a 1 jest wektorem złożonym z samych jedynek o n elementach. Współczynnik dopasowania R² jest określony analogicznie jak dla poprzedniego modelu i ma identyczną interpretację. Błąd średniokwadratowy wyraża się wzorem oop

MSE =    , .    (3.182)

n-p- 1

Jeśli spełnione jest założenie

Uwaga 3.50. Założenie (Ni*): e jest wektorem losowym o łącznym rozkładzie normalnym N(0, <r²H),

to możemy skonstruować odpowiedni test sprawdzający, czy istnieje zależność pomiędzy zmiennymi niezależnymi a zmienną zależną. Odpowiada on zatem tostowi F z poprzedniego modelu. Tym razem hipoteza zerowa ma postać

(3.183)

Zauważmy, że jeśli hipoteza ta jest prawdziwa, to zmienne x.i,... ,x._p nie mają statystycznego wpływu na zmienną V.

Hipotezę tą odrzucamy, jeśli wartość statystyki testowej F równa

(3.184)

SSR/p

MSE

jest większa niż kwantyl Fj__a,p_>n__p_i.