40139 skanowanie8 (3)

b) TYzy pełne zbiorniki Z_x, Z₂ i Z₃ o pojemnościach odpowiednio 20.40 i 50 litrów połączono dwiema rurkami. Rurki te umożliwiają przepływ daczy ze zbiornika Zj do Zs oraz ze zbiornika Z* do Z% z prędkością 30 1/ain. Zbiornik Z\ zawiera 75 % wodny roztwór soli, a dwa pozostałe czystą wodę. Wyznaczyć ilości soli zi{t), za(i)_t z₃(t) odpowiednio w zbiornikach Zi, Z2, Z*. Przyjąć- że pierwszy zbiornik zasilany jest czystą wodą z prędkością 10 1/min, a z tą samą prędkością z ostatniego wypływa roztwór. Przyjąć również, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jest natychmiastowy.

3.2. Sprawdzić, że dla podanych układów równań różniczkowych wskazane ciągi funkcji są ich rozwiązaniami na zadanych przedziałach:

e \ zł I, R\

b)

1/2 ■ Vi (1+j J+3/2-1.

c) I    *    (yi(Ol 1/2(1}) = (ci + c₂t, 2C2 4 —, (0,oo).

u = -²£⁺7'    ^v

3.3. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:

a: lny, f	3(0) = e~^2.	b) <	\*^m !*"	1 3*	f *(0) - 2,
-v. i	2/(0) = e^1-,		l --1* +	5 2*	1 y(0) ■*
^3 ,^1r^+z^y'	ri(o) = 2,	<0<	PI	fx(0)	1 " >/5’
1 J.^32^X+2^V'	11/(0) = 1;			im

jA - 2yj -3^2 + 6*,

3.4. Podane układy równań różniczkowych liniowych zapisać w postaci wektorowej: liniowych:

id = VJ +    -1,

^a)

y[ = tyi+t²V2- lnt,

Vi    ^b)

— H-1/21

V2 = Vi + e

-t.

■ Vi + 2ys.

yś - yi-ya + t-

3.5. Korzystając z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla układów równań różniczkowych liniowych wyznaczyć przedziały, na których podane zagadnienia początkowe mają jednoznaczne rozwiązania:

b)

y'i = Y +1/2.

ń = yi - V2 +

t-r

yisint = yi - pa + sint, 3/2 COS t = yi + y₂ + cost, '

	-1,	*{i)	= 2;
/	3ff\	1	/3ir
	t)	-i* »	(t

3.6. Korzystając z metody eliminacji rozwiązać podane układy równań różniczkowych liniowych ze wskazanymi warunkami początkowymi: