3685665575

Zadanie 7. Niech zi,Z2,Z3 będą liczbami zespolonymi takimi, że |zi| = 1221 = \z₃\ = 2. Udowodnij, że wtedy

\Z\Z₂ + ^123 + 2223I = 2|zi + 2₂ + z₃|.

Rozwiązanie. W dowodzie wykorzystamy, że |z|² = zz dla dowolnej liczby zespolonej 2. Ponieważ 1211 = |2₂| = |z₃| = 2, więc ZiZl = 2₂22 = 2323 = 4. Stąd mamy, że |2i2₂ + 2123 + 2₂2₃|² = (2i2₂ +

2l23 + Z₂2₃)(2i2₂ + 2i2₃ + 2₂2₃) = (Zi 2₂ + 2i2₃ + Z₂2₃)(żIŹ5 + Zl^ + 2$2j) = (ZlZ^)(z₂Z2) + (z{Źl)Z₂Z^ +

21(2222)25 + (2l2T)2₃2j + (2i2T)(2₃2j) + 2l2^(2₃2^) + {z₂Zi)z^Z{ + Z₂Zl(z₃Z^) + (z₂Z^)(z₃Z^) = 48 + 4(z₂Z^ + Ziźj + 2₃2j + Ziź2 + 2₃2l + 2₂2T). Ponadto 4|2_X + 2₂ + 2₃|² = 4(21 + 2₂ + 2₃)(2i + 2₂ + 2₃) = (2l + 2₂ + 2₃)(2l + 2j + ^) = 4(212l + 2l2j + Z1Z3 + Z₂Z{ + 2₂22 + 2₂2j + 2₃2l + 2₃ŻJ + 2₃2j) = 48 + 4(2225 + 2125 + 2₃22 + 2i^2 + 2₃2T + 2₂źT)- Zatem |2i2₂ + 2i2₃ + 2₂2₃|² = (2|zi + 22+ 2₃|)², skąd

|2l2₂ + 2l2₃ + Z₂Z₃1 = 2\Z1 + 2₂ + Z₃|.

Zadanie 8. Przedstawić w postaci algebraicznej pierwiastki kwadratowe z następujących liczb zespolonych:

a) i, b)-*, c) 8 + 6i, d) 8 - 6i, e) -8 + 6i, f) -8 - 6i, g) 3 + 4i, h) -11 + 60i, i) -15 - 8i, j) 1 - iV3, k) 2 + 3i.

Rozwiązanie, a) Szukamy x, y € R takich, że (x + yi)² = i. Ale (x + yi)² = (x² — y²) + 2xyi, więc x² — y² = 0 oraz 2xy = 1. Z drugiego równania uzyskujemy, że x i y mają ten sam znak, więc po uwzględnieniu równania pierwszego y = x oraz 2x² = 1. Zatem x² = |, czyli x = lub x =

Odp.    i oraz    ^i.

b)    Szukamy x, y € R takich, że (x + yi)² = —i. Ale (x + yi)² = (x² — y²) + 2xyi, więc x² — y² =0 oraz 2xy = — 1. Z drugiego równania uzyskujemy, że x i y mają różne znaki, więc po uwzględnieniu równania pierwszego y — —x oraz —2x² = — 1. Zatem x² = \, czyli x = ^ lub x = —

Odp. &-&i oraz + &i

wup. ₂    2 ^U    2 T 2 t.

c)    Szukamy x,y e R takich, że (x + yi)² = 8 + 6*. Ale (x + yi)² = (x² - y²) + 2xyi, więc x² - y² = 8 oraz 2xy = 6. Zatem xy = 3 oraz x² — y² = 8. Szukając rozwiązań tego układu w liczbach całkowitych znajdujemy bez trudu, że x = 3 i y = 1 lub x = — 3 i y = —1.

Odp. 3 + i oraz -3 - i.

d)    Szukamy x,j/6R takich, że (x+yi)² = 8 — 6*. Ale (x+yi)² = (x² — y²)+2xyi, więc x²—y² = 8 oraz 2xy = —6. Zatem xy = —3 oraz x² — y² = 8. Szukając rozwiązań tego układu w liczbach całkowitych znajdujemy bez trudu, że x = 3 i y = — 1 lub x = — 3 i y = 1.

Odp. 3 — i oraz —3 + i.

e)    Szukamy x,y € K takich, że (x + yi)² = -8 + 6i. Ale (x + yi)² = (x² — y²) + 2xyi, więc x² — y² = -8 oraz 2xy = 6. Zatem xy = 3 oraz x² — y² = 8. Szukając rozwiązań tego układu w liczbach całkowitych znajdujemy bez trudu, że x = 1 i y = 3 lub x = —1 i y = —3.

Odp. 1 + 3ż oraz — 1 — 3i.

f)    Szukamy x,y € E takich, że (x+yi)² = —8 — 6i. Ale (x+yi)² = (x² — y²) +2xyi, więc x² — y² = —8 oraz 2xy = —6. Zatem xy = —3 oraz x² — y² = —8. Szukając rozwiązań tego układu w liczbach całkowitych znajdujemy bez trudu, że x = 1 i y = — 3 lub x = — 1 i y = 3.

Odp. 1 - 3i oraz -1 + 3i.

g)    Szukamy x,j6R takich, że (x + yi)² = 3 + 4i. Ale (x + yi)² = (x² - y²) + 2xyi, więc x² - y² = 3 oraz 2xy = 4. Zatem xy = 2 oraz x² — y² = 3. Szukając rozwiązań tego układu w liczbach całkowitych znajdujemy bez trudu, że x = 2 i y = 1 lub x = —2 i y = —1.

Odp. 2 + i oraz —2 — i.

h)    Szukamy x,y S M takich, że (x + yi)² = —11 + 60*. Ale (x + yi)² = (x² — y²) + 2xyi, więc x² — y² = —11 oraz 2xy = 60. Zatem xy = 30 oraz x² — y² = —11. Szukając rozwiązań tego układu w liczbach całkowitych znajdujemy bez trudu, że x = 5 i y = 6 lub x = —5 i y = —6.

5