42781 Obraz3 (71)

Proponujemy dalej wyeliminowanie pierwszego pudełka i obserwację, co się wtedy stanie z. naszym schematem (na rysunku należy zasłonić pasek pod kreskowaną linią). Drzewo rozpada się na dwa drzewa, które łatwo zinterpretować; pierwsze przedstawia rozwiązanie zadania: na ile sposobów można rozmieścić dwa żetony w czterech pudełkach, drugie -podobne zadanie dla trzech żetonów i czterech pudełek. Zatem

Ale i tu łatwo o natychmiastowe uogólnienie, podobnie jak poprzednio:

n - i

n - i k

Zastosowanie poznanych wzorów odbywa się znowu algorytmicz-

Iⁿ\

nie. Buduje się mianowicie tabelkę kolejnych wartości liczb    (n jest

=1)

liczbą naturalną, k - liczbą naturalną lub zerem, k < n, przyjmuje się korzystając z rekurencyjnego wzoru:

i

3

6

10

15

1

4

10

20

1

5

15

W ten sposób formułuje się, różny od algorytmu drzewa, algorytm

obliczenia liczby

przy dowolnych wartościach naturalnych na n i natu

ralnych lub O na k, gdy n>k. Uczniowie stwierdzają, że po skończonej liczbie kroków, przedłużając i rozszerzając dostatecznie tabelkę, co można robić automatycznie, jeżeli się tylko umie dodawać, otrzyma się poszukiwaną liczbę. Ale ten algorytm okazuje się równie niewygodny jak drzewo przy „dużych” liczbach; może istnieje prostszy? Pojawia się nowy problem: ulepszenie algorytmu.

Podaliśmy ten przykład, ponieważ ilustruje on bardzo dobrze interakcję algorytmicznego i pojęciowego rozwiązywania matematycznych problemów, występującą już od początku rozwoju matematycznej myśli ucznia, oraz prawidłowość, o której pisze Dieudonne, myśląc o zupełnie innym poziomie matematycznej twórczości. Naiwny rachunek - ujęcie pojęciowe - zastosowanie odkrytego twierdzenia do ulepszenia tego rachunku, próba dalszej jego racjonalizacji jako motyw nowego aktu pojęciowego ujęcia, to jedna z wielu możliwych i naturalnych dróg wprowadzenia ucznia w istotne elementy aktywności matematycznej.

Mówiąc o czynnościowym nauczaniu matematyki, o myśleniu operacjami, nie myślimy więc tylko o myśleniu algoiytmicznym sensu stricto. Załóżmy, że uczeń uzyskał już wzór f"j = ^"¹T._fj"~¹j P^ozostani^{e on} dlań

martwy i nie nasunie mu pomysłu wykorzystania dla obliczenia liczb postaci , jeżeli nie odpowie on sobie samemu na pytanie, ,jak mogę ten wzór

rJ

wykorzystać”, wyrażając rekurencję w sposób osobisty, operatywny: „obli

czenie liczby

\^k)

mogę zawsze sprowadzić do obliczenia liczb

; jeżeli je już znam, to wystarczy je dodać, aby otrzymać liczbę ^

Doświadczenie szkolne uczy, że dla wielu przeciętnych uczniów definicje i twierdzenia matematyczne pozostają martwe właśnie dlatego, że w procesie nauczania nie uwzględnia się wyraźnie, stale, konsekwentnie

273