45019 img367 (3)

Drugi minor główny tej macierzy jest równy 10 > O, a więc w punkcie funkcja / osiąga minimum.

Jednak po podstawieniu współrzędnych otrzymanego punktu do warunku ograniczającego otrzymujemy:

< 16,

50    34

19 ⁺ l9

84    8

19 ^{_ 4}19

a więc punkt ten nie jest ekstremum warunkowym funkcji / przy warunku g_x. 2. Należy zatem utworzyć dla powyższego zadania funkcję Lagrange’a:

L(x₁,x₂,k) = 5xf — 8x_xx₂ + lx\ — I2x₁ — 4x₂ + 81 + X(x_l + x₂ — 16)-*min.

Obliczamy jej pochodne cząstkowe, które następnie przyrównujemy do zera:

-— = 10x, — 8x dx_x    ¹

2

12 + 2 = 0,

dL

dx₂

8L

52

— 8.*! + 14x₂ — 4 + 2 = 0,

=    + x₂ — 16 = 0.

Otrzymujemy układ trzech równań o trzech niewiadomych: x_lt x₂ i 2, który najłatwiej jest rozwiązać przez wyeliminowanie zmiennej 2 z dwu pierwszych równań. Ostatecznie otrzymujemy:

**i=9, x\ = 7,    f(x\, x*₂) = 189.

A zatem zakład 1 powinien otrzymywać dziennie 9 MWh energii, a zakład II - 7 MWh. Koszty przesyłania energii wyniosą 189 jedn. p.

Mankamentem omówionej metody jest fakt, że nie gwarantuje ona uzyskania nieujemnych wartości zmiennych decyzyjnych. Gdyby się okazało, że w otrzymanym rozwiązaniu któraś ze zmiennych przyjęła wartość ujemną, trzeba uciec się do innych metod rozwiązywania. Stąd też wynika ograniczone zastosowanie metody mnożników Lagrange’a do rozwiązywania programów nieliniowych.

6.1.2. Program nieliniowy o postaci standardowej

Programy nieliniowe o postaci standardowej (w których wszystkie ograniczenia są nierównościami) można również rozwiązywać metodą nieoznaczonych mnożników Lagrange’a, zamieniając uprzednio nierówności na równania przez wprowadzenie tzw. zmiennych nieistotnych u². Gdyby np. w przykładzie 35 warunek ograniczający miał postać x_x + x₂ < 16, zamienilibyśmy go na równość następująco: x, + x₂ + u² — 16 = 0 (ponieważ lewa strona nierówności jest mniejsza, należało do niej dodać zmienną nieistotną). Gdyby warunek miał postać np. x_t + x₂ ^ 16, to od lewej strony nierówności należałoby odjąć zmienną nieistotną, czyli otrzymalibyśmy x_l + x₂ — u² — 16 = 0.

Szukanie ekstremum funkcji Lagrange’a sprowadziłoby się do rozwiązania układu czterech równań o czterech niewiadomych, a mianowicie:

8L

lO.rj — 8x₂ — 12 + A = 0,

3L

—— — —8xj + 14x₂ — 4 + A = 0,

dx₂

dL    .

— = x, + x₂ — 16 -I- u = 0,

8A

8L

du

= 2Au = 0.

Oczywiście, większa liczba zmiennych decyzyjnych lub warunków ograniczających znacznie zwiększa rozmiary zadania, które trudno jest rozwiązać bez korzystania z pakietów komputerowych.

Częściej jednak do rozwiązywania programów nieliniowych o postaci standardowej znajduje zastosowanie twierdzenie Kuhna-Tuckera. Twierdzenie to i jego dowód można znaleźć w większości podręczników omawiających programowanie nieliniowe. Formułowane jest ono bardzo różnie¹. Poniżej ograniczono się głównie do podania ostatecznej postaci warunków Kuhna-Tuckera i ich praktycznego zastosowania według jednej z możliwych wersji, podanej w pracy [14].

Dla programu postaci:

f{x₁, ..., x„) -> min,

J    g_f(xi,x„) < 0 (i = 1,..., r),

x₂ ^ 0, ..., x_n ^ 0,

gdy

L =f(x) + £ A; £;(*),

i= 1

warunki Kuhna-Tuckera przybierają postać: 8L

(1)

8xj

Sf{x) , ^ , dg,.(x) ^ _n

(j — 1,    n),

191

1

Por. np. prace [14], [18] i [62].