SCN
02

. 5. Jeżeli macierz zawiera wiersz zerowy lub kolumnę zerową, to wyznacznik tej macierzy jest równy zero.

6.    Jeżeli macierz zawiera dwa wiersze lub dwie kolumny równe lub proporcjonalne, to wyznacznik tej macierzy jest równy zero.

7.    Jeżeli w macierzy dokonana zostanie zamiana miejscami dwóch wierszy lub dwóch kolumn, to znak wyznacznika macierzy ulegnie zmianie na przeciwny.

8.    Jeżeli do dowolnego wiersza (lub do dowolnej kolumny) dodać dowolny inny wiersz (lub kolumnę) pomnożony przez dowolna liczbę rzeczywistą, to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie.

Wnioski

1.    Przekształcenia, o których mowa we własności nr 8, nazywamy przekształceniami niezmienniczymi wyznacznika.

2.    Przekształcenie niezmiennicze mogą być wykorzystywane do obli-

^£" czania wyznaczników macierzy.

4.4. Macierze odwrotne

Definicja

Macierzą odwrotną dla macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz oznaczaną symbolem A , że spełniony jest warunek:

A A^-1 = A"'A = E ^{1 2 3 4}

Twierdzenie o istnieniu macierzy odwrotnej

Warunkiem koniecznym i wystarczającym odwracalności macierzy A jest jej nieosobliwość, czyli:

A^-1 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A jest różny od zera.

Twierdzenie o odwracaniu macierzy

Macierz odwrotna dla macierzy nieosobliwej A nazywamy następującą macierz:

Wniosek

Aby wyznaczyć macierz odwrotną dla macierzy nieosobliwej A należy:

1.    Utworzyć dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów.

2.    Utworzyć macierz dopełnień algebraicznych.

3.    Transponować macierz dopełnień algebraicznych.

4.    Otrzymaną macierz transponowaną podzielić przez wyznacznik macierzy A.

Otrzymana macierz będzie macierzą odwrotną.

Szczególny rodzaj macierzy

Macierz kwadratową A nazywamy ortogonalną, jeżeli macierz transponowana i macierz odwrotna do niej są identyczne:

A - ortogonalna <=> A ² = A^T

1

Wniosek

2

   Odwracanie macierzy dotyczy wyłącznie macierzy kwadratowych.

3

   Macierz odwrotna jest macierzą tego samego stopnia co macierz wyjściowa.

4

   Pojęcie macierzy odwrotnej jest uogólnieniem pojęcia liczby ouwioincj.