47573 str056 (5)

56 ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

56 ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

*o)"

11 = 0

n= 1

§ 9. Szereg Laurenta i punkty osobliwe

Definicja 1. Szeregiem Laurenta o współczynnikach a„ i środku z₀ ^ oo nazywamy szereg postaci

(9.1)    Z a_n{z-z₀)\

n= — oo

Łatwo zauważyć, że szereg Laurenta (9.1) można napisać w postaci

(9.2'.    ^ a_n(z-z₀)ⁿ = ^_a„(z-z₀)"+ ^ ^

»=-oo    [n=0    [n = 1

Pierwszy szereg po prawej stronie (9.2) nazywamy częścią regularną szeregu Laurenta (9.1),

drugi szereg, występujący po prawej stronie (9.2), nosi nazwę części głównej szeregu Laurenta (9.1).

Definicja 2. Szeregiem Laurenta o współczynnikach a„ i środku oo nazywamy szereg postaci

(9.0    £?•

n = — co

Łatwo zauważyć, że szereg Laurenta (9.1') można napisać w postaci

+ 00 00 00

(9.o

Przez zbieżność (zwykłą, j zbieżność analogiczną obydwu j mierny sumę sum obydwu jeg( Twierdzenie (Abela). Jeżeli i i części regularnej szeregu Laun pierścieniu domkniętym zawarty

Twierdzenie (Laurenta). Je

(9.5)

to daje się w tym pierścieniu ro

(9.6)    /(z) =

Pierwszy szereg po prawej stronie (9.2') nazywamy częścią regularną szeregu Laurenta (9.1'), drugi szereg, występujący po prawej stronie (9.2'), nazywamy częścią główną szeregu Laurenta (9.1'). Widzimy więc, że w szeregu Laurenta o środku w punkcie z = oo rolę

części regularnej odgrywa szereg ujemnych potęg z, a wyrazy o potęgach dodatnich tworzą

00

część główną. Część regularna £ a_n(z—z₀)ⁿ szeregu (9.1) jest szeregiem potęgowym wzglę-

n = O

dem (z—z₀) zbieżnym wewnątrz kola \z—z₀\<R, a rozbieżnym na zewnątrz tego koła. Mamy przy tym

(9.3)

R =

(9.7)

Współczynniki a„ tego sze

1 ,

a„ = -

2ni

gdzie

co    n-*oo

E^a-n    1

;-- jest szeregiem potęgowym względem zmiennej U = -.

(z —z₀)    z—z₀ ‘

*    n= 1

Wobec tego szereg ten jest rozbieżny wewnątrz i zbieżny na zewnątrz koła

(9.4)    _ |z-z₀|<r,

gdzie r = lim V|a_„|.

gdzie K jest dowolnym okręgi ścieniu (9.5).

Definicja 3. Jeżeli funkcj \z—z₀\<R, to punkt z₀ nazy

Definicja 4. Jeżeli funk punktu z₀, czyli dla 0<|z-z₍ nym tej funkcji.

Wyróżniamy trzy rodzaje

1. Mówimy, że punkt z₀ główna szeregu Laurenta tej części głównej są równe zeru. I holomorficzną w całym kole