str118 (5)

118 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

118 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

{

11.    Znaleźć funkcję, która odwzorowuje konforemnie w górną półpłaszczyznę płaszczyznę z dwoma cięciami — oo<x< — 1 oraz 1 +oo.

12.    Znaleźć funkcję, która odwzorowuje konforemnie w górną półpłaszczyznę całą płaszczyznę z wycięciem wzdłuż odcinka łączącego punkt Zj = (1+/) z punktem z₂ = = (2+2/).

13.    Na jaki obszar przekształca funkcja w — cos z pas 0 < Re z < n ?

14.    W co przechodzą proste równoległe do osi układu współrzędnych zawarte w pasie —^7t<Rez<i7t przy odwzorowaniu iv = tgz?

15.    Znaleźć funkcję homograficzną, która odwzorowuje pierścień zawarty między okręgami |z| = 1, |z—1| =|na pierścień kołowy l<|w|<R. Określić wartość R.

16.    Znaleźć funkcję homograficzną, która odwzorowuje pierścień zawarty między okręgami |z—1| = 1, |z— /| = _x/6 na pierścień koncentryczny 1 < |w| < /?. Wyznaczyć R.

17.    Znaleźć pole obrazu obszaru D o równaniach

rl«S|z|<2,

(.-iir^argz^ +£rc

przy odwzorowaniu w = z².

18.    Znaleźć długość obrazu krzywej C o równaniach

x-i,

Odpowiedzi

1.    w = iiz+(l—ji). Wsk

z— 1

2.    w = —i-. Wskazo

z+1

3.    tv = —. Wskazówk

1—z

2z—1

4.    a) w = i-, b) w =

2—z

z—i

5.    iv = i-. Wskazow

z+/

6.    Na obszar będący półp punkt z opisuje górny półoki wiedni w porusza się po dodał punktowi +/ — punkt i. Gd

przy odwzorowaniu w = z².

19.    Wykazać, że przy odwzorowaniu w = z² okrąg |z— 11 = 1 przechodzi w kardioidę w(ę) = 2(1 +cos(p)e^i<l>. Wyznaczyć długość tej L kardioidy oraz pole Sjej wnętrza.

20.    Znaleźć długość krzywej, będącej obrazem odcinka <0, /> przy odwzorowaniu

21.    Znaleźć funkcję odwzorowującą konforemnie wycinek ę koła jednostkowego o rozwartości n/n na górną półpłaszczyznę.

22.    Wykazać, że funkcja:

|z|

a) G(z) = Log — jest funkcją Greena dla obszaru |z| > r z biegunem w punkcie z₀ = oo.

b) G(z) = Log

r²—az

r(z—a) gunem w punkcie z₀ = a.

, gdzie |a|<r, jest funkcją Greena dla koła |z|<r z bie-

c) G(z) = Log—-jest funkcją Greena dla koła |z|< 1 z biegunem w punkcie z₀ = 0.

\z\

23. Znaleźć funkcję Greena G(z) = G(x,y) dla koła |z| <r z biegunem w punkcie Zq = a, gdzie |a|<r.

7. w-./- — . Wska

z—4/

8. iv = yjz²+a². Wskaz< (z) w płaszczyznę ({) wzdłuż ci płaszczyznę (£) z cięciem Ir dodatniej osi rzeczywistej; fun dodatniej osi rzeczywistej w 4z⁴+17z²+4

9. w =

-.W

2(z² + l) odcinek, nie zmieniając kszta T = £² przekształca obszar za