58405 Str109

•14    6 Krzywe dlplyiWH'

Ale ponieważ tylko połowu niwerowych elementów ciała F ma pier włistki kwadratowe, moglibyśmy spodziewać się (o ile x* -f* ax -h b jest loio. wym elementem tego ciała), że liczba ly punktów na krzywej jest dwa razy mniejswi. Dokładniej, niech x będzie charakterem kwadratowym ciała F_r j_Cfi^ to przekształcenie, które każdemu elementowi *eFJ przyporządkowuje w zależności od tego, czy x ma czy nic ma pierwiastka kwadratowego w p (a ponadto * (0) » 0). Na przykład, jeśli q = p jest liczbą pierwszą nieparzystą’

to x( v) = ^ ' j jest symbolem Lcgcndrc’a (por. podrozdział 2.2). Zatem liczba

rozwiązań .ye F_f równania y¹ = u jest zawsze równa I + x(u), a więc liczba rozwiązań równania (1) (wraz z punktem w nieskończoności) wynosi

1 + £ (1 + x(x² + M +    +1 + £ x(*³ + ax + b). (fi)

«F,    «»,

Możemy oczekiwać, że wartość x(*³ + ax + b) będzie równic często równa + 1 i -1. Cała ta suma przypomina sumowanie w „błądzeniu przypadkowym”: rzucamy q razy monetą, po wyrzuceniu orła robimy krok w przód, po wyrzuceniu reszki - krok w tył. Korzystając z metod teorii prawdopodobieństwa, można obliczyć, że po q rzutach monetą średnia odległość, na jaką oddaliliśmy się od punktu wyjścia, jest rzędu -Jq . Suma £ x (*³ + ^ax + b) zachowuje się podobnie do sumy w błądzeniu przypadkowym, okazuje się, że jest ona ograniczona przez 2 Jq . Ten wynik jest znany pod nazwą twierdzenia Hassego, jego dowód można znaleźć w § 5.1 książki Silvermana o krzywych eliptycznych, cytowanej w bibliografii.

Twierdzenie Hassego. Niech N będzie liczbą F^punktów na krzywej eliptycznej zdefiniowanej nad ciałem ¥_q. Wtedy

\N-(q+l)\ś2jj.

Oprócz tego, że chcemy znać liczbę N punktów krzywej eliptycznej zdefiniowanej nad ciałem F_fl, często chcemy znać jej strukturę grupy abelowej. Ta grupa abelowa może nie być grupą cykliczną, ale można pokazać, że jest zawsze produktem dwóch grup cyklicznych. Oznacza to, że jest izomorficzna z produktem y?-grup postaci Z/p^aZ x Z/p^pZ, przy czym p przebiega wszystkie dzielniki pierwsze liczby N(tu O 1, > 0). Typem grupy abelowej F_fl-punk-tów krzywej E jest ciąg (..., p^a, p\ ...)_p|N rzędów cyklicznych /7-podgrup (opuszczamy p^p, gdy fi — 0). Znalezienie typu grupy nie zawsze jest łatwe.

Przykład 4. Znajdźmy typ grupy punktów krzywej y² = x³ — x nad ciałem F₇₁.

Rozwiązanie. Najpierw musimy znaleźć liczbę N punktów na krzywej. Zauważmy, że w sumie (6) składniki dla * i dla —x znoszą się, gdyż x((-x)³ - (-*)) = x(~ l)z(*³ - *) oraz x(~ 1) = -1, gdyż 71 s 3 (mod 4).

Zatem N *= q -f I = 72. Zauważmy następnie, że istnieją dokładnie cztery punkty rzędu 2 (z punktem w nieskończoności O włącznie), gdyż odpowiadają one pierwiastkom wielomianu x³ — x = jkOc - 1)(jc + 1) (por. ćwiczenie 4(a) poniżej). Oznacza to, że 2-podgrupa tej grupy ma typ (4, 2), skąd wynika, że cała grupa ma albo typ (4, 2, 3, 3), albo typ (4, 2, 9), w zależności od tego, czy istnieje 9 punktów czy też 3 punkty rzędu 3. A więc pozostaje nam stwierdzić, czy może istnieć 9 punktów rzędu 3. Zauważmy, żc dla dowolnego punktu P & O równanie 3P = O jest równoważne równaniu 2P - ±P, czyli temu, że współrzędne x punktów P i 2P są takie same. Ze wzorów (5) wynika, źc jest to z kolei równoważne równaniu ((3** - \)/2y)² - 2x = x, czyli (3*² - l)² = \lxy² = 12x* - 12x². Po uproszczeniu otrzymujemy 3x⁴ — 6x² - I = 0. To równanie ma w ciele F₇, co najwyżej cztery pierwiastki. Jeśli istnieją cztery pierwiastki, to każdemu z nich odpowiadają co najwyżej 2 punkty (dla y = ± *Jx³ - *, jeśli x³ — jc ma pierwiastek kwadratowy modulo 71), a więc w ten sposób moglibyśmy otrzymać 9 punktów rzędu 3 (wliczając w to punkt O w nieskończoności). W przeciwnym przypadku musi być mniej niż 9 punktów rzędu 3 (a więc dokładnie 3 takie punkty). Ale jeśli x jest pierwiastkiem naszego równania czwartego stopnia i x³ — x ma pierwiastek kwadratowy modulo 71, to dla pierwiastka —* odpowiedni element (~x)³ — (—x) = -(x³ — x) nie jest kwadratem modulo 71. Zatem nie możemy mieć dziewięciu punktów rzędu 3, skąd wynika, że typem grupy jest (4, 2, 9).

Rozszerzenia ciał skończonych i hipoteza Weila. Jeśli krzywa eliptyczna ii jest zdefiniowana nad ciałem F_q, to można ją też rozpatrywać nad ciałem F^ dla r— 1, 2, ..., a zatem ma sens rozważanie F^-punktów, tzn. rozwiązań równania (1) nad takimi rozszerzeniami ciała F_q. Jeżeli naszym podstawowym ciałem, nad którym krzywa E była zdefiniowana, będzie F_f, to przez N_r oznaczymy liczbę F^-punktów krzywej E. (Zatem N_t = N jest liczbą punktów, których współrzędne należą do wyjściowego ciała F..)

Liczby N_r określają „funkcję tworzącą” Z(T\ EfF_q); jest to szereg formalny zmiennej T, określony w Q[[7]] wzorem

Z(r,£/F_|) = e^J]V^,    (7)

w którym sumowanie jest rozciągnięte na wszystkie liczby r = 1, 2,..., a oznaczenie EfF_ę jest użyte po to, by wskazać krzywą E i wyjściowe dało, nad którym ją zdefiniowaliśmy. Można pokazać, że współczynniki szeregu po prawej stronie (będącego nieskończonym iloczynem wykładniczych szeregów potęgowych e^NfT'^lr) są liczbami całkowitymi dodatnimi. Ten szereg potęgowy jest zwany £-funkcją krzywej eliptycznej (nad ciałem F_q) i jest on jednym z ważniejszych obiektów związanych z krzywą E.

Hipoteza Weila (dziś już twierdzenie P. Dcligne’a) mówi w znacznie bardziej ogólnym kontekście (rozmaitości algebraicznych dowolnego wymia-