64870 img450 (2)

ROZDZIAŁ 2.

Pochodna funkcji

2.1. Pochodna funkcji w punkcie

Samochód wyjechał z miasta A o godz. 10⁰⁰ i przybył o godz. 14⁰⁰ do miasta B, odległego od A o 300 km. Bez trudu odpowiemy na pytanie, jaka była średnia prędkość samochodu na tej trasie. Oczywiście wynosi ona: v_śr = —^ =

= 75 [km/hj. Czy możemy na podstawie tego obliczenia powiedzieć, z jaką prędkością jechał samochód o godz. 1 2⁰⁰? Oczywiście nie. Mogło się przecież zdarzyć, że o godz. 12⁰⁰ samochód stał (np. na światłach lub na stacji benzynowej) lub jechał akurat z prędkością 120 km/h. Jego prędkość średnią

0    godz. 12⁰⁰ moglibyśmy dokładniej oszacować, gdybyśmy wiedzieli, w jakiej odległości od A znajdował się np. o godz. 12⁰⁰, a następnie o 1 2¹⁰. Jeśli na przykład samochód o godz. 12⁰⁰ widziano w punkcie leżącym 145 km od A, a następnie o godz. 12¹⁰ w punkcie odległym od A o 1 60 km, to możemy obliczyć jego prędkość średnią na dystansie, który przebył w ciągu tych 10 minut

(czyli 1 godziny): v_1śr = -^    ^ = 90 [km/hj. Otrzymaliśmy dokładniejszą

6

informację o prędkości samochodu o godz. 12⁰⁰. Oczywiście jeszcze dokładniejszą informację (v_2śr) otrzymalibyśmy, znając jego położenie o godz. 1 2⁰⁰

1    12⁰¹. Gdybyśmy rozważali dalej coraz mniejsze odcinki czasu, to otrzymalibyśmy coraz dokładniejsze przybliżenie prędkości samochodu o godz. 1 2⁰⁰. Dokładna wartość tej prędkości, jak łatwo się domyśleć, byłaby granicą otrzymywanych po kolei prędkości średnich: v_śn v_1śr, v_2śr, (oczywiście, o ile granica ta istnieje) - fizycy nazywają ją prędkością chwilową w chwili t = 2 godz. (czas liczymy od momentu startu samochodu).

W powyższym przypadku mamy do czynienia z pewną funkcją s(t), wyrażającą zależność drogi przebytej przez samochód od czasu potrzebnego do przebycia tej drogi.

Przejdźmy teraz do bardziej ogólnej sytuacji. Niech / będzie funkcją określoną w przedziale, do którego należy punkt x₀. Ponadto załóżmy, że h jest liczbą rzr< zywistą, x₀ + h należy do dziedziny funkcji. Możemy zdefiniować „średnią szybkość zmiany" funkcji / w przedziale (x₀, x₀ + /a) jako:

_f - /(*o + h)~ f(x₀)

Jśr    _h

nalomiast „chwilową szybkość zmiany wielkości y, ze względu na wielkość X w punkcie x₀" jako:

_f - i_im f(Xg + h)~ f(x₀)

^^chw n, h

(jeśli granica ta istnieje).

W ten sposób można badać nie tylko zjawiska fizyczne. Rozważmy następujący przykład.

PRZYKIAD 1.

I unkcja f(t) = V920f + 22800 opisuje w przybliżeniu liczbę ludności pewnego państwa (w min) w latach 1950-1990, przy czym jej liczba w roku 1950 jest wartością tej funkcji dla t - 0, zatem D_f = (0, 40). Znajdźmy szybkość zmiany liczby ludności tego państwa w dowolnym momencie t₀, a następnie w roku 1980.

Obliczamy, wykorzystując znany nam już z obliczania granic funkcji sposób (zob. str. 19.):

_N f(t₀ + h)-f(t₀) _{= |jm} V920(tp+h) + 22800-V920t₀+ 22800 ₌ A—>o    h    h-> o    h

920/7    ___920

h^920(to+h) + 22800 + V920f₀+ 22800)    2V920f₀ + 22800'

Teraz możemy już obliczyć szybkość zmiany w roku 1980, przyjmując t₀ = 30 (mamy tu t₀ = 30, czas liczymy bowiem od roku 1950). Otrzymujemy:

2V920•30+22800

Tak więc liczba ludności tego państwa w roku 1980 wykazywała tendencję rosnącą (otrzymany wynik jest dodatni) i tempo tego wzrostu wynosiło ok. 2,049 min rocznie.