ca3

Rozdział 9

Jeżeli funkcja/oraz g mają ciągłe pochodne to prawdziwy jest wzór:

jAx)-g'(x)dx = /(r)-g(r) - \f{x)-g{x)dx

3. Wykorzystując twierdzenie o całkowaniu przez części, obliczyć:

a) Jr² cos r<ir =

= x² sin.r - J 2.r sinrrfr

f(x) = X²    f(x) = 2x

g'(x) = cosx g(x) = sin.r

1=2 Jr sinratr =

= -2.r cosr + 21 cosxdx

Ax) = x /Cr) = 1 g (r) = sin.r g(x) = -cosx

-2rcosr + 2sinr

jr² cosxdx = x² sin.r - (-2rcosr + 2 sinr) = r² sin.r + 2rcosr - 2 sin.r + C c) j(r³ + 2r - l)e^xdx =^x³e^xdx + j2xe^xdx - Je^xdx

~v~

K

L    M

/(r) = r³ /(r) = 3r² g(x) = e^x g(x) = e^x

f(x) = x² f(x) = 2x g'(x) = e^x g(x) = e^x x³e^x - 3x²e^x + 6xe^x - 6e^x

/(r) = 2r /(r) = 2 g’(x) = e^x g(x) = e^x

2xe^x - 2e^x M = | e^xdx = e^x

j(r³ + 2r - 1 )e^xdx = x³e^x - 3x²e^x + 6xe^x - 6e^x + 2xe^x - 2e^x - e^x = x³e^x - 3x²e^x + Sxe^x - 9e^x = (r³ - 3r² + 8r - 9)e^x

Ax) = ln²r /(r) = 21nr4 g'(4 = 1 g(x) = x

/(r) = lnr /(r) = | g' (x) = 1 g(r) = x

K = |x³e^xdx =

x³e^x - 3

L = |2xe^xdx =

g) | ln².r<ir = J \ \a²xdx =

rln²r -2 J \nxdx = r ln²r - 2 rln²r - Zr lnr + Zr + C

= x³e^x - 3 fx²e^xdx =

= x³e^x - 3x²e^x + 6 jxe^xdx =

= 2xe^x - 2 j e^xdx =