122634

Niech    —■► R ma ciągłe pochodne do rzędu (n-J) włącznie w punkcie oeR

oraz istnieje pochodna fⁱⁿ⁾(x) dla dowolnego xg S(a). Wtedy istnieje t ^ 5(a) taki, że prawdziwy jest wzór, zwany wzorem Taylora

f(x)

dla dowolnego x

S(a).

(n-1)!

₊^(x-or,

nl

Uwagi

Przy n =1 otrzymujemy znany wzór Lagrange'a, a mianowicie

f(x)=f(a)₊f\t)(x-a) czyi. f\t)= ^f{x)~^f{a)

Przy n — 2 wzór Taylora ma postać

f(x)= f{a)+ f'(a)(x-a) + ±f’(t)(x-a)².

Szczególnym przypadkiem wzom Taylora jest wzór MacLaurina, otrzymany z wzoni Taylora przy a = 0, tzn.

K*)=f(0) +

/■'(O)

t\ 0)

2!

x +.

0)

(n-1)!

fⁱⁿ\ 0

oraz jego szczególne przypadki

n =1    f(x)=m+f'(t)x,

n = 2    f(x)= «0)₊f(0)x₊if(0*².

Wzory MacLaurina dla funkcji

f (*)=**

, , x x²    x"^_1    x" ,

e = 1+—+—+ ...+-+--e

1! 2!    (n-1)! nl

f (x) = sin x

•    ^    ^    / ,v n-1 ^A

sin x = x---1---...(—1)    -

3!    5!    (2n —3)!

(-1)"

(2n —1)!

cosr

Powyższe wzory podaje się również w postaci przybliżonej

, , x x²    x"

e ~1 + —+ — + ... + —,

1! 2!    nl

3    5    Jn 1

3!    5!    (2n —1)!

X X

Wzór pierwszy pozwala podać kolejne przybliżenia liczby e (przyjmując x =1): n =1    e = 1 + 1,

n = 2    e* 1 + 1 +3= 2,5,

n = 3    e ~ l + l + -^ + £ ~ 2,6667, itd.

Do rachunków przybliżonych można także użyć wzoru Taylora. Dla przykładu jeżeli chcemy policzyć sin 31° , to przyjmując we wzorze Taylora przy n =1 postaci

f(x)= f(a)+ f'(t)(x-a)

kolejno x =31°, a = 30° = f, t =30° = f, f(x)=sinx, f'(x) = cosx mamy