img127

127

czy ż?dać, aby f miała pochodnę «+l rzędu jedynie w punkcie t_Q oraz, aby wszystkie pochodne do rzędu m nłęcznle istniały n przedziale

^<W^h> •

7.3. Dla uproszczenia zapisu przyjmujemy ozneczeniat t₀ » a, t_Q * h *

= b i niech

G(t) - g(t) - 3(».) , , (b-t)^p

(b-.)^p

gdzie: ₉{t) . f(b) - f(t) - ^ (b-t}f*(t) - ... - J,|M)^,(^W(I)

Funkcja 6 ma w przedziale < a,b> pierwezę pochodnę oraz G(a) * G(b) ■

* 0. Zatem, na podstawie twierdzenia Pollena, istnieje taki punkt £c(a,b),

w którym G*($>) * O. Ale G'(t) » g'(t) -    p(b-t)^p"¹ oraz

(b-a)^p

g'(t) - - if (b-t) ^f (t)

Ostatecznie

0 . G-(%) . - Ąt (b-^)’^,<"^4l)(f) * —aiii p(b-£)^p*¹

(b-a)^p

skęd, korzystejęc z definicji funkcji g, otrzymujemy Już bezpośrednio

(*>.

8.1.    Zauważmy, że jeśli x |‘y albo x «* y ■ O, to ^ (x,y) *

»    (x,y) ■ O, a stęd już łatwo wynika, że

“4 (0,0) - ^-j(Ov0) - ^f-(0,0) - ^^ -(o.o) ■ 0

Ale f nie Jeet cięgła w punkcie (0,0), bo

^{lim f}(£ • ł) - 1 i U« *(r ♦ §) » o

m—*-oo    m —► oo

8.2,    Niech k będzie dowolnę liczbę tekę, że IkI< r 1 połóżmy

F(x) - f(x,y_o^k) - f(x,y_D)

Ponieważ pochodna ^ istnieje w zbiorze A, więc dla I x-x_ftl < r, lfcl<r istnieje pochodna

P'(x) - I7 (x,y_c+k) -    (x,y₀)

oraz w myśl twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej, mamy dla łhl<r 1) ^p(x₀.h) - F(*_a) . h[|£ (x_c . 6b.y_ołk) - |i(x₀*8h,y_o)]

gdzie^ O<0<1.