70378 PB032281

jest

^SZeregi

^em

'% i ii

%

różne---■

_Dla * = 1 otrzymujemy: 1 _ 1 i ^Si+f2'

145

^Qi

¹ ~q

2 określenia ciągu za pomocą wzoru rekurencyjnego też wynika, że a, =-•

, Założenie indukcyjne: /» = *

1    k

WĘĘ 1

Tezain^dukcyj^na: n = k+1

' k+l

Ksj 2'

Dowód:

7 określenia ciągu za pomocą wzoru rekurencyjnego mamy:

HIi|

°^k*\'k(k + 2) I

k

Podstawiając a*    (z założenia indukcyjnego), otrzymujemy:

(k + lj²) k ^k +1

^fl*⁺¹ ~A:(& + 2) £+1 lljf

■i li Ar+1

Otrzymaliśmy tezę indukcyjną: a*₊,

Wobec tego na mocy zasady indukcji matematycznej wynika, że A a_n =-

1 ^neN+

b) lim a„ = lim-= lim —

/*-» oo    «->co

"⁺¹

Sn®

!!IB

n(n + 2)

0 PRZYKŁAD 2.87

Dany jest ciąg (a„) o wyrazie ogólnym a_n = Vw +1 - Vh .

a)    Wykaż, że ciąg (a„) jest ograniczony.

b)    Zbadaj monotoniczność ciągu (a„).

ROZWIĄZANIE

a) Należy wykazać, że V A mś4n+\-Jń<M.

m,M eR neN₊

^aalcając a, =V^TT-^. otrzymujemy:

°w =4n+\-.*[Z-(J^{n +} l-Jn)(Jn + l+Jn) _ n + l-n _    1

4n +1+4n 4n+t+4n -Jn+l + ^fn

m-ty wyraz