72100 str145 (4)

iSOWANIA

K-s). 10

u <P(s) prawdziwy jest związek

t-*oo, to

^:’a),

cowa q(t) określona wzorem

ełnia warunki 1° i 3° definicji 1, ważyć, że funkcja f(t) okre-

>0,

<0

p. q(t)sint, q(t)t", i/(t)e^a'). stoty zapisu) będziemy zawsze ru dla /<0. Na przykład za-

c .

\

§ 2. WYZNACZANIE OBRAZU, GDY ZNANY JEST JEGO ORYGINAŁ

145

Zadania przykładowe

Zadanie 2.1. Znaleźć obraz (transformatę Laplace’a) funkcji jednostkowej q{t). Rozwiązanie. Stwierdzamy najpierw, że funkcja ą(t) jest oryginałem. Nierówność (1.1) spełnia ona ze stałą ź₀ = 0. Wobec tego szukaną funkcję <P(s) wyznaczamy ze wzoru (1.2). Przyjmując w tym wzorze /(/) = 1 zgodnie z uwagą 1, § 2, mamy dla Rej = X>k₀ = 0

i—[bT-f

czyli obraz funkcji jednostkowej t](t) określony jest wzorem

£DK0] = 4>(s) = y.

Zadanie 2.2. Znaleźć obraz .(transformatę Laplace’a) funkcji e^at, gdzie a jest liczbą rzeczywistą.

Rozwiązanie. Stwierdzamy najpierw, że funkcja e^at jest oryginałem. Nierówność (1.1) spełnia ona ze wskaźnikiem X₀ = a. Wobec tego dla Res = 2>ź₀ = ona mocy wzoru (1.2), w którym f{t) — e^al, mamy

<t>(s) = |"e^at e~^stdt = J.e^(a~^s)t dt =    = -ł- ,

o    o

bo wobec X>a mamy

|e^(i,-5>'| =    = |    —^A>‘ e~^ia,\ = e^(a_i)‘ = e^_(i'^a>'-»0

dla r—*oo. Zatem

L [e^oł] = (s) = ——,

s—a

gdzie a to dowolna liczba rzeczywista.

Zadanie 2.3. Znaleźć obraz (transformatę Laplace’a) funkcji /(/) = sin/;t. Rozwiązanie. Stwierdzamy najpierw, że funkcja nasza jest oryginałem, będąc funkcją rzędu wykładniczego o wskaźniku A₀ = 0. Wobec tego dla Rej = X>X₀ = 0 na mocy wzoru (1.2) zastosowanego do danej funkcji mamy

C , T e^_s'    T b

<f>(s) = sinbte ^s dt = -~—ri(—ssinbt-bcosbt)\ = -5—-j,

J    |_s +0    Jo s~-ho"

bo wobec A>0 mamy kolejno

\s² + b

(—ssinbt —bcosbt) =

10 —Wybrane działy matematyki...

s² + b²

■Xt

-(—ssinbt — b cos bt)

|—s sin bt+b cos bt\<

I s* + b*\

(1*1 + 1 b\) = e- j--_2iŁ2ł

I s² + b²\~

-*0