78938 img448 (2)

Z wykresu widać, że jej najmniejszą viartością jest y = -1 (dla x = 1), a największą wartością jest y = 8 (dla x = 4). Jeśli oznaczyć najmniejszą wartość tej funkcji przez m, a największą przez M, to możemy stwierdzić, że istnieją takie punkty x_1t x₂e(0, 4), że /(x-i) = 77 oraz /(x₂) = M. Mówimy, że funkcja osiąga swoją wartość najmniejszą w pjnkcie X-, i największą w punkcie x₂.

Niech teraz /(x) = x² - 2x, xe (O, 4).

W tym przypadku funkcja nie osiąga wartości największej. Zauważ, że nie istnieje punktx₁e(0, 4), dla którego /(x ) = 8.

Wnioskujemy więc, że funkcja może osiągać wartość najmniejszą i wartość największą, jeśli jest określona w przedziale domkniętym. To jednak jeszcze nie wszystko.

Weźmy teraz funkcję / określoną następująco:

x² - 2x,

m =

o

dlaxe(0, 1) u (1,4) dla x = 1.

Ta funkcja przyjmuje największą swoją wartość (8), ale nie osiąga wartości najmniejszej, choć jest określona w przedziale domkniętym <0, 4). Widać więc, że samo założenie, że funkcja musi być określona w przedziale domkniętym, nie wystarcza. Problem pojawił się teraz dlatego, że funkcja nie jest ciągła w całym przedziale.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 14. (Weierstrassa)

Jeżeli funkcja / jest ciągła w przedziale domkniętym (a, £>), to osiąga w tym przedziale swoją wartość najmniejszą m i największą M, tzn. istnieją takie liczby X-,, x₂e(o, b), dla których f(x₁) = m i /(x₂) = M.