Capture140

Wyra/cmo lo /nar/y, łc suma kw.ulr.ilmv odchyleń N_f pomiarów u ^ od średniej ogólnej .V równa jest sumie kwadratów odchyleń pomuiń#«j / grupy plus N, razy kwadrat różnicy między brednia / grupy a trednu Ponownie sumujemy po k grupach i otrzymujemy

k Ni    * \    i'-    |

IIia„ -v_/)- + X-v. <v, v,

/“I • “t    J«l

C/Jon po lewej stronie tego równania jest całkowity suma kwaduŁ."* kwadratów odchyleń wszystkich pomiarów od średniej ogólnej Pierwc/y po prawej stronic równania jest sum.i kw adratów wewnatr/grupowuh: tutaj drutów odchyleń wszystkich pomiarów od odpowiednich średnich / grup c/.łon po prawej stronie równania jest suma kwadratów międzygnipowyd, kwadratów odchy leń średnich / grup *xl średniej ogólnej. pr/> czym Luje zenie (.V, - X)^: jest ważone według N_r czyli liczby przypadków w grupie całkowita suma kwadratów została podzielona na dwie addytywne czeki kwadratów wew natrzgrupowych i sumę kwadratów nuędzygrupuwych

15.4. Średnie kwadraty

Z ku/da suma kwadratów wiąże się pewna liczba stopni swobody. CałkowiU pomiarów wynosi N, + JNfr + ••• ♦ Nt = ŁV, = N. Całkowita suma kwadra N - 1 stopni swobody. Jeden stopień swobody odpada na odchylenia od ogólnej Spośród tych odchyleń N - I może się swobodnie zmieniać Liczba swobody związana z wewmjtr/grupowa suma kwadratów równa jest

(/V, - I) ♦ <iV₂ - I) +

+ (N_k - I) = '£_śNj-k = N-k j=i

Liczba stopni swobody dla każdej grupy wynosi /V, - I Stad liczba stopni n-dla k grup wynosi LiV, - k. czyli N - k. Liczba stopni swobody zwiozaruti dzygrupowa suma kwadratów wynosi k - \. Mamy k średnich, a I stopień whó inlpada wskutek wyrażenia średnich z grup w- postaci odchyleń od średniej (fik Stopnie swobody sa addytywne:

N - I = (N-k) ♦ (k - I).

Całkowito wewnątrz miedzy

Wewnatr/grupowa i międzygmpową sumę kwadratów dzielimy przez mu nc z nimi stopnic swobody, by otrzymać wewnatr/grupowy średni kwadrat i n międ/ygmpowy średni kwadrat vj. Zatem 415.2)

(15.3)

Sumy kwadratów or.i/ stopnic \wob<idy -ą addytywne brednie kwadrat, mc '■4 addytywne.

15.5. Znaczenie średnich kwadratów

Jakie jest znaczenie średnich kwadratów Ą i s%? Przyjmijmy te / populacji trujących tę samą wariancję pobraliśmy k prób Przyjmujemy zaln/cmc. ze aj = <yy : -• = oj = er Jeżeli założenie to da mc utrzymać, to oczekiwana wartość i* będzie wynosić er. c/.yli £<t;) = n^: Zatem a; jest me obciążonym c za-cowamcm wariancji w populacji. Oszacowanie to otr/ymalismy. łączce te sobą pomiary z k prób. Można to zapisać w następującej postaci

X<*„ ~^i)“ + £(Xfi - Xi)r * •••♦ £(Xj - X_tr

+ N_: +... + N_k - k

(15.4)

Czytelnik przy pomina sobie zapewne, te przy stosowaniu testu r do określania titOtiK&i różnic między dwiema średnimi przy próbach me/alcznych nic obciążone ooacowanie wariancji w populacji otrzymywaliśmy, łącząc sumy kwadratów odchyleń od średnich z dwóch prób i dzieląc otrzymana sumę przez całkowita liczbę stopni swobody. Średni kwadrat wewnątr/grupowy v* jest oszacowaniem dokładnie lego samego typu Otrzymuje się je. dodając do siebie sumy kwadratów odchyleń od k średnich z prób i dzieląc otrzymaną sumę przez, całkowitą liczbę stopni swobody. Oszacowanie wariancji stosowane w teście t jest szczególnym przypadkiem ii mianowicie występującym wówczas, gdy k = 2

Wartość oczekiwaną Ą można przedstawić następująco

k -

(15 5)

277