222 (67)

METODY NUMERYCZNE.^ .0/222

że macierze układów powstałych w klasycznych metodach Galerkina są z reguły źle uwarunkowane.

Te negatywne własności przez dłuższy okres były przyczyną nikłego stosowania metody Galerkina do numerycznego rozwiązywania zagadnień różniczkowych. Rozkwit tej metody nastąpił dopiero z pojawieniem się jej specjalnych wariantów, tj. metod elementu skończonego.

Zanim przejdziemy do konstrukcji MES krótko powiemy o powiązaniu zadania (10.85) z zadaniem czysto wariacyjnym. Wiele zagadnień różniczkowych można sformułować jako zadania wariacyjne, tzn. jako zadania polegające na poszukiwaniu funkcji, na których rozpatrywany funkcjonał osiąga ekstremalną wartość. Na przykład zagadnieniu (10.82) odpowiada zadar.ie wariacyjne postaci: wyznaczyć taką funkcję u e H\ (fi), że

(10.92)

J(«) = inf J (u)

l>2«0

2

W przypadku niejednorodnego warunku brzegowego (10.82b), tj. u(x) = <j(x) zadanie (10.92) przyjmuje postać:

wyznaczyć funkcję u należącą do zbioru W = {v <= H^l : v (x) — <p (a), .y e ćfi} taką, że

J (m) — inf 7 (u)

Można pokazać, że zadania (10.82) i (10.92) mają te same rozwiązania, jeśli funkcja / i brzeg SCI obszaru fi są odpowiednio regularne. Dlatego, jeśli to jest wygodne, możemy traktować postać (10.92) jako wyjściową przy konstrukcji zadania przybliżonego.

Przejdźmy do zadania ogólnego (10.85). Gdy forma a (1/, r)jest k-eliptyczna i symetryczna, tzn.

a (u, t) = a (v, u),    u, v c V

to zadanie (10.85) jest równoważne następującemu: wyznaczyć takie u e V, że

(10.93)

J (u) = inf J (v) , gdzie J (i>) = a (c, v) -l(v)

Do przybliżonego rozwiązywania (10.93) stosujemy metodę Rit za. Zadanie przybliżone w tej metodzie ma następującą postać: wyznaczyć taką funkcję u_m e że

J (u J = inf J (i?)

(10.94)

gdzie V_m jest /M-wymiarową podprzestrzenią przestrzeni V. Niech